C*-algebra

C*-algebra (czyt. ce-gwiazdka-algebra; czasami algebra typu ce-gwiazdka) – zespolona algebra Banacha $A$ z dodatkowym działaniem inwolucji $^{*}\colon A\to A$ ($A$ jest więc *-algebrą), spełniającym warunek

(C*) ${}\quad \|a^{*}a\|=\|a\|\ \|a^{*}\|\quad (a\in A).$

Motywacją rozważania pojęcia C*-algebry była chęć aksjomatycznego ujęcia własności algebraicznych obserwabli w mechanice kwantowej. C*-algebry będące podalgebrami algebry operatorów ograniczonych na przestrzeni Hilberta pojawiły się w matematyce i fizyce matematycznej w latach 30. XX wieku.

Przykłady

• Niech $H$ będzie przestrzenią Hilberta. Algebra ${\mathcal {B}}(H)$ wszystkich operatorów liniowych i ograniczonych na $H$ ma strukturę algebry Banacha (normą w tej algebrze jest norma operatorowa). Operacja sprzężenia operatora $T\to T^{*}$ jest inwolucją na tej algebrze spełniającą warunek (C*), tj. algebra ${\mathcal {B}}(H)$ jest C*-algebrą. C*-algebra ta jest nieprzemienna, gdyż istnieją niekomutujące ze sobą operatory na przestrzeni Hilberta.
• Operatory zwarte na przestrzeni Hilberta $H$ tworzą domknięty ideał w algebrze ${\mathcal {B}}(H)$ (w szczególności, tworzą one domkniętą podalgebrę ${\mathcal {B}}(H)$). Algebra $K(H)$ operatorów zwartych jest zamknięta na inwolucję, a więc sama jest C*-algebrą. Identyczność na nieskończenie wymiarowej przestrzeni Hilberta nie jest operatorem zwartym, a więc algebra $K(H)$ nie ma jedynki.
• Niech $K$ będzie lokalnie zwartą przestrzenią Hausdorffa. W przestrzeni Banacha $C_{0}(K)$ złożonej z zespolonych funkcji ciągłych na $K$ i znikających w nieskończoności (normą w tej przestrzeni jest norma supremum) można wprowadzić działanie mnożenia określone punktowo oraz inwolucję, definiując $f^{*}(z)$ jako sprzężenie zespolone wartości $f(z)$ dla każdego punktu $z$ przestrzeni $K.$ Przestrzeń $C_{0}(K)$ z tak zadanymi działaniami mnożenia i inwolucji jest przemienną C*-algebrą. Algebra ta ma jedynkę wtedy i tylko wtedy, gdy przestrzeń $K$ jest zwarta (wówczas jej elementami są wszystkie zespolone funkcje ciągłe na $K;$ w tym przypadku używa się zwykle symbolu $C(K)$ zamiast $C_{0}(K)$). Przestrzeń $\ell _{\infty }$ (z działaniami mnożenia i inwolucji zadanymi podobnie) jest również przemienną C*-algebrą. W szczególności, przestrzeń $\ell _{\infty }$ jest izomorficzna z przestrzenią $C(\beta \omega ),$ gdzie $\beta \omega$ oznacza uzwarcenie Čecha-Stone’a zbioru liczb naturalnych z topologią dyskretną. Podobnie, przestrzeń c₀ jest algebrą postaci $C_{0}(K),$ gdzie $K$ jest zbiorem liczb naturalnych z topologią dyskretną.
• W przypadku gdy $A$ jest C*-algebrą oraz $M_{n}$ oznacza algebrę macierzy kwadratowych stopnia $n,$ to algebrę macierzy $M_{n}(A)$ o współczynnikach z algebry $A$ można w naturalny sposób wyposażyć w strukturę C*-algebry (por. podjednorodna C*-algebra).

Elementy normalne, samosprzężone i rzutowania

Pojęcia operatora normalnego, samosprzężonego, rzutu rozszerza się na elementy C*-algebr. Dokładniej, o elemencie $a$ C*-algebry $A$ mówi się, że jest

• normalny, gdy komutuje ze swoim sprzężeniem, tj. $aa^{*}=a^{*}a;$
• samosprzężony, gdy jest równy swojemu sprzężeniu, tj. $a=a^{*};$
• rzutem, gdy jest samosprzężony i idempotentny, tj. $a=a^{*}$ oraz $a^{2}=a.$

Klasyfikacja rzutów

Istnieje naturalna relacja równoważności w rodzinie rzutów danej C*-algebry $A.$ Dwa rzuty $p,q\in A$ są równoważne w sensie Murraya-von Neumanna (ozn. $p\sim q$), gdy istnieje taka częściowa izometria $v\in A,$ że $p=v^{*}v$ i $q=vv^{*}.$ Rzuty dzieli się na skończone i nieskończone. Rzut $p$ w C*-algebrze $A$ jest

• nieskończony, gdy $p\sim q$ dla pewnego właściwego rzutu $q\in A$ spełniającego $q\leqslant p,$
• skończony, gdy nie jest nieskończony.

Spośród rzutów nieskończonych wyróżnia się rzuty nieskończone w sposób właściwy, tj. takie rzuty $p,$ dla których istnieją takie dwa rzuty $p_{1},p_{2}\in A,$ że $p_{1}p_{2}=0$ (wzajemna ortogonalność), $p_{1}+p_{2}\leqslant p$ oraz $p\sim p_{1}\sim p_{2}.$

Dla niezerowego rzutu $p\in A$ następujące warunki są równoważne:

1. $p$ jest nieskończony w sposób właściwy,
2. $p\oplus p\leqslant p,$
3. istnieją takie częściowe izometrie $s_{1},s_{2}\in A,$ że $s_{1}^{*}s_{1}+s_{2}^{*}s_{2}=p$ oraz $s_{1}s_{1}^{*}+s_{2}s_{2}^{*}\leqslant p,$
4. obraz $p$ w dowolnej algebrze ilorazowej $A$ poprzez kanoniczny homomorfizm ilorazowy jest albo rzutem zerowym albo rzutem nieskończonym.

Przykładem rzutu, który jest nieskończony, ale nie jest nieskończony w sposób właściwy jest jedynka algebry Toepliza, tj. C*-algebry generowanej przez operator przesunięcia na $\ell _{2}(N).$

Elementy normalne i twierdzenie spektralne

Każdy element samosprzężony jest normalny. Twierdzenie spektralne rozszerza się na elementy C*-algebr i w swej najbardziej abstrakcyjnej formie mówi, że najmniejsza C*-algebra z jedynką generowana przez element normalny jest przemienna. Twierdzenie, to prowadzi do pojęcia ciągłego rachunku funkcyjnego dla elementu normalnego $a,$ tj. pozwala zdefiniować ściśle element $f(a),$ gdzie $f$ jest zespoloną funkcją ciągłą określoną na widmie $a.$

W przypadku gdy C*-algebra jest postaci $C_{0}(K),$ to jej rzutami są funkcje będące funkcjami charakterystycznymi domknięto-otwartych podzbiorów $K$ (jeżeli przestrzeń $K$ jest spójna i zwarta istnieją tylko dwa rzuty: funkcja stale równa 0 i funkcja stale równa 1).

Własności spektralne

• Promień spektralny elementu normalnego jest równy jego normie.
• W przypadku, gdy C*-algebra $A$ ma jedynkę, to widmo elementu odwracalnego w $A$ jest zawarte w okręgu jednostkowym.
• Element $a$ C*-algebry jest samosprzężony wtedy i tylko, gdy jego widmo zawarte jest w zbiorze liczb rzeczywistych.
• Jeżeli $A$ i $B$ są C*-algebrami, $A\subseteq B$ oraz algebry te mają wspólną jedynkę, to widmo elementu $a$ algebry $A$ (względem algebry $A$) jest takie samo jak jego widmo względem algebry $B.$ Innymi słowy, widmo $a$ nie zależy od C*-algebry, której jest on elementem.

Elementy unitarne, twierdzenie Russo-Dyego

Element $u$ C*-algebry $A$ (z jedynką 1) jest unitarny, gdy $uu^{*}=1$ (równoważnie, $u^{*}u=1,$ bądź $u^{*}=u^{-1}$). Elementy unitarne uogólniają w naturalny sposób pojęcie macierzy czy operatora unitarnego. Russo i Dye udowodnili następujące twierdzenie.

Twierdzenie Russo-Dyego: Niech $A$ będzie C*-algebrą z jedynką oraz $U$ niech będzie zbiorem elementów unitarnych w $A.$ Wówczas domknięta kula jednostkowa $B_{A}$ jest równa domknięciu otoczki wypukłej zbioru $U,$ tj.

$B_{A}={\overline {\operatorname {conv} }}U.$

Poniższy, elementarny dowód pochodzi od L.T. Gardnera.

Dowód. Niech $x\in A$ oraz $\|x\|<1.$ Wystarczy uzasadnić, że $x$ należy do domknięcia zbioru $\operatorname {conv} U.$ To sprowadza się jednak do pokazania, iż dla każdego $u\in U$ element $y=(x+u)/2$ należy do domknięcia $\operatorname {conv} U.$ Rzeczywiście,

$y=[(x\cdot u^{-1}+1)/2]\cdot u.$

Ponieważ $\|x\cdot u^{-1}\|=\|x\|<1,$ więc element $(x\cdot u^{-1}+1)$ jest odwracalny, skąd również $y$ jest elementem odwracalnym. Element $y$ jest więc postaci $y=v|y|,$ gdzie $v$ jest pewnym elementem unitarnym oraz

$(y^{*}y)^{1/2}=|y|=(w+w^{*})/2,$

gdzie $w=|y|+i(1-|y|^{2})^{1/2}$ jest również unitarne. Dowodzi, to że $B_{A}-U\subseteq U+U.$ Z powyższego wynika więc, że $U$ zawiera się w zbiorze $2\cdot {\overline {\operatorname {conv} }}-x,$ który jest domknięty i wypukły, a więc zawiera domknięcie $\operatorname {conv} U.$ Równoważnie,

${\tfrac {1}{2}}(x+{\overline {\operatorname {conv} }}U)\subseteq {\overline {\operatorname {conv} }}U.$

Ciąg $(x_{n})_{n=0}^{\infty }$ elementów ze zbioru ${\overline {\operatorname {conv} }}U)$ można zadać rekurencyjnie: $x_{0}$ – dowolny element $U$ oraz $x_{n+1}=(x+x_{n})/2;$ ciąg ten jest zbieżny do $x.$ $\Box$

Dodatniość, stany

O operatorze $T$ na przestrzeni Hilberta mówi się, że jest dodatni (czasem ściślej: nieujemny), gdy dla każdego elementu $x$ z przestrzeni Hilberta spełniony jest warunek

$\langle Tx,x\rangle \geqslant 0.$

Dodatniość operatora $T$ jest równoważna istnieniu takiego operatora $S,$ że $T=SS^{*}.$ Właśnie tę definicję przenosi się na ogólne C*-algebry i definiuje się pojęcie elementu dodatniego w C*-algebrze $A$ jako takiego, który można przedstawić w postaci $a=bb^{*}$ dla pewnego elementu $b$ C*-algebry $A.$ Dla elementu $a$ C*-algebry następujące trzy warunki są równoważne:

1. $a$ jest elementem dodatnim;
2. widmo elementu $a$ zawiera się w nieujemnej półosi zbioru liczb rzeczywistych;
3. istnieje taki element samosprzężony $h$ w C*-algebrze $A,$ że $a=h^{2}.$

Zbiór elementów dodatnich w C*-algebrze tworzy stożek, oznaczany czasem symbolem $A_{+}.$ Stożek ten jest domknięty i wypukły oraz spełnia warunek $A_{+}\cap -A_{+}=\{0\}.$ W stożku $A_{+}$ definiuje się porządek częściowy warunkiem $a\leqslant b$ wtedy i tylko wtedy, gdy element $b-a$ jest dodatni.

Funkcjonał liniowy $\varphi$ na C*-algebrze $A$ jest nazywany dodatnim, gdy dla każdego elementu dodatniego $a$ z $A$ spełniony jest warunek $\varphi (a)\geqslant 0.$ Funkcjonał dodatni jest automatycznie ciągły (ograniczony). Funkcjonał dodatni o normie równej 1 nazywany jest stanem. Stan różnowartościowy nazywany jest wiernym.

Funkcjonał dodatni $\varphi$ na C*-algebrze $A$ spełnia następujące warunki dla dowolnych elementów $a,b$ z $A{:}$

1. $\varphi (a^{*}b)={\overline {\varphi (b^{*}a)}};$
2. $|\varphi (b^{*}a)|^{2}\leqslant \varphi (a^{*}a)\cdot \varphi (b^{*}b).$

Powyższa nierówność jest więc pewną wersją nierówności Cauchy’ego-Schwarza. Założenie warunku (C*) nie jest tu istotne – te same własności mają funkcjonały dodatnie na dowolnych *-algebrach Banacha.

Reprezentacje

Ważnym narzędziem w studiowaniu (abstrakcyjnych) C*-algebr są ich reprezentacje. Reprezentacją C*-algebry $A$ nazywa się parę $(H,\pi ),$ gdzie $H$ jest pewną przestrzenią Hilberta oraz $\pi \colon A\to {\mathcal {B}}(H)$ jest *-homomorfizmem (tj. homomorfizmem algebr zachowującym inwolucję; $\pi (a^{*})=(\pi (a))^{*}$ dla dowolnego $a\in A$) o wartościach w *-algebrze ${\mathcal {B}}(H)$ wszystkich ograniczonych operatorów liniowych na $H$ (${\mathcal {B}}(H)$ z normą operatorową jest C*-algebrą). Szczególnie użyteczne okazują się reprezentacje o pewnych dodatkowych własnościach. I tak, o reprezentacji $(H,\pi )$ C*-algebry $A$ mówi się, że jest

• niezdegenerowana, gdy o ile tylko dla każdego $a\in A,$ $\xi$ jest takim elementem $H,$ że $\pi (a)\xi =0,$ to $\xi$ musi być wektorem zerowym;
• cykliczna, jeżeli istnieje taki element $\xi \in H,$ że zbiór $\{\pi (a)\xi :a\in A\}$ jest gęsty w $H$ (wektor $\xi$ nazywany jest wówczas wektorem cyklicznym reprezentacji $(H,\pi );$ każda reprezentacja cykliczna jest niezdegenrowana);
• wierna, gdy $\pi$ jest monomorfizmem, tj. jeżeli $\pi (a)=0,$ to $a=0;$
• nieprzywiedlna, gdy rodzina operatorów $\pi (A)=\{\pi (a)\colon a\in A\}$ nie ma wspólnej, domkniętej, nietrywialnej (tj. różnej od $\{0\}$ i $H$) podprzestrzeni niezmienniczej.

Dla reprezentacji $\pi \colon A\to {\mathcal {B}}(H)$ następujące warunki są równoważne:

• $\pi$ jest nieprzywiedlna,
• $\pi (A)'=\{cI\colon c$ jest liczbą zespoloną ${}\!\}$
• $\pi (A)''={\mathcal {B}}(H),$
• $\pi (A)$ jest gęste w ${\mathcal {B}}(H)$ w mocnej topologii operatorowej.

Istnieją dwa zasadnicze twierdzenia o reprezentacji C*-algebr:

• Twierdzenie Gelfanda-Najmarka mówi, że każda przemienna C*-algebra $A$ jest *-izomorficzna z C*-algebrą postaci $C_{0}(K)$ dla pewnej lokalnie-zwartej przestrzeni Hausdorffa $K.$ W istocie, przestrzeń $K$ jest przestrzenią Gelfanda C*-algebry $A$ (tj. transformata Gelfanda $\Gamma \colon A\to C_{0}(K)$ jest epimorfizmem).
• Twierdzenie Gelfanda-Najmarka-Segala mówi, że każda C*-algebra $A$ ma wierną reprezentację na pewnej przestrzeni Hilberta $H;$ innymi słowy, każda C*-algebra jest *-izomorficzna z pewną pod-C*-algebrą algebry ${\mathcal {B}}(H)$ dla pewnej przestrzeni Hilberta $H.$

Aproksymowanie jedności, ideały, C*-algebry ilorazowe

Każda C*-algebra ma aproksymowalną jedność składającą się z elementów samosprzężonych, tj. w każdej C*-algebrze $A$ istnieje taki ciąg uogólniony $(e_{\alpha })_{\alpha }$ złożony z elementów samosprzężonych $(e_{\alpha }^{*}=e_{\alpha }),$ że dla dowolnego $a\in A$ zachodzi

$\lim x\ e_{\alpha }=\lim e_{\alpha }\ x=x.$

Rozważanie aproksymowalnych jedności jest zasadne w C*-algebrach, które nie mają jedności (gdy $A$ ma jedność $e,$ można przyjąć $e_{\alpha }=e$). W przypadku, gdy $J$ jest domkniętym ideałem (obustronnym) w C*-algebrze $A,$ dla każdego elementu $x\in J$ istnieje taki ciąg $(f_{n})$ elementów $J$ o następujących własnościach:

1. widmo każdego elementu $f_{n}$ zawarte jest w przedziale $[0,1];$
2. $\lim x\ f_{n}=x$

(gdy $A$ ma jedność, wystarczy zdefiniować $f_{n},$ używając ciągłego rachunku funkcyjnego, wzorem $f_{n}=nx^{2}(e+nx^{2})^{-1}$).

Używając tego faktu dowodzi się, że

Domknięte ideały w C*-algebrach są zamknięte ze względu na inwolucję. Innymi słowy, same są C*-algebrami.

Jeżeli $J$ jest domkniętym ideałem w C*-algebrze $A$ oraz $(f_{n})_{n}$ oraz $x\in J,$ to $x=\lim x\ f_{n}.$ Z drugiej strony, $x^{*}=\lim f_{n}\ x^{*},f_{n}x^{*}\in J$ oraz $J$ jest domknięty, więc $x^{*}\in J.$

Zamkniętość domkniętych ideałów na inwolucję pozwala wprowadzić w ilorazowej algebrze Banacha powstałej przez ilorazowanie C*-algebry $A$ przez domknięty ideał $J$ inwolucję wzorem: $[x]^{*}=[x^{*}](x\in A).$ Tak zadana inwolucja w $A/J$ spełnia warunek (C*).

C*-algebry mogą być ubogie w ideały obustronne. Skrajnymi przykładami mogą być C*-algebry proste (C*-algebra $A$ jest prosta, gdy nie ma ona innych ideałów obustronnych niż ideał trywialny $\{0\}$ oraz ideał niewłaściwy $A$). C*-algebry proste można konstruować jako C*-algebry ilorazowe $B/J,$ gdzie $B$ jest pewną C*-algebrą oraz $J$ jest jej ideałem maksymalnym. Przykładem jest algebra Calkina, tj. C*-algebra ${\mathcal {B}}(H)/\mathbf {K} (H),$ gdzie $H$ jest ośrodkową przestrzenią Hilberta, a $\mathbf {K} (H)$ oznacza ideał operatorów zwartych na $H.$ Algebra Calkina jest nieośrodkowa. Istnieją ośrodkowe C*-algebry proste, np. algebry Cuntza $O_{n}.$

Przeciwnie niż w przypadku ideałów obustronnych, C*-algebry mają zawsze nietrywialne ideały lewostronne. Jeżeli $\varphi$ jest funkcjonałem dodatnim w C*-algebrze $A,$ to zbiór

$N_{\varphi }=\{a\in A\colon \varphi (a^{*}a)=0\}$

jest ideałem lewostronnym w $A.$ W C*-algebrze z jedynką każdy domknięty ideał lewostronny jest tej postaci (ogólniej, w dowolnej C*-algebrze każdy domknięty ideał modularny jest tej postaci).

Iloczyny tensorowe C*-algebr

Niech $A$ i $B$ będą C*-algebrami. Algebraiczny iloczyn tensorowy $A\otimes B$ ma naturalną strukturę *-algebry. Każda norma $\|{\cdot }\|$ w $A\otimes B$ spełniająca warunek (C*) jest normą krzyżową przestrzeni Banacha, tj.

$\|x\otimes y\|=\|x\|_{A}\cdot \|y\|_{B}\;\;(x\in A,y\in B)$.

Projektywny iloczyn tensorowy $\otimes _{\pi }$ (przestrzeni Banacha) nie spełnia na ogół warunku (C*).

Bibliografia

• W. Arveson, An Invitation to C*-algebra, „Graduate Texts in Mathematics” No. 39. Springer-Verlag, 1976.
• J. Dixmier, C*-Algebras, North Holland 1977.
• H.G. Dales, Banach algebras and automatic continuity, Clarendon Press, Oxford, 2000.
• M. Takesaki, Theory of Operator Algebras I. Berlin-Heidelberg-New York, Springer-Verlag 1979. VII.

Linki zewnętrzne

• C*-algebra (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].