Stożek (analiza funkcjonalna)

Stożek – uogólnienie pojęcia stożka (nieograniczonego) znanego ze stereometrii na przestrzenie liniowo-topologiczne (najczęściej przestrzenie Banacha). Stożek w przestrzeni unormowanej jest szczególnym przypadkiem tzw. klinu. Kliny / stożki wyznaczają w pewien naturalny sposób praporządek / porządek w przestrzeni, przez co znajdują zastosowanie w teorii równań różniczkowych w przestrzeniach Banacha.

Definicja

edytuj

W niniejszym artykule   oznaczać będzie zawsze rzeczywistą przestrzeń liniowo-topologiczną.

Niepusty zbiór domknięty   nazywamy klinem (w przestrzeni  ), gdy dla każdych   oraz  

 

oraz

 

Ponadto, klin nazywamy stożkiem, gdy spełniony jest warunek

 

Przestrzenie liniowo-topologiczne uporządkowane przez stożki

edytuj

Jeśli   jest klinem w przestrzeni   to relacja   dana warunkiem

 

jest praporządkiem. Ponadto,   jest porządkiem częściowym wtedy i tylko wtedy, gdy   jest stożkiem. Praporządek   wyznaczony przez klin   ma dodatkowo następujące własności:

  1.  
  2.  
  3.  

Przykłady

edytuj
  • Zbiór   jest stożkiem.
  • Jeśli   jest domkniętą podprzestrzenią liniową przestrzeni   to jest ona klinem, ale nie jest stożkiem.
  • Jeżeli   jest funkcjonałem liniowym i ciągłym na przestrzeni   to zbiór   jest klinem.
  • Część wspólna dowolnej rodziny klinów (w danej przestrzeni) jest klinem.
  • Przypomnijmy, że jeżeli   jest zbiorem niepustym, to symbolem   oznaczamy przestrzeń wszystkich ograniczonych odwzorowań   z normą supremum. Zbiór   zdefiniowany niżej, jest stożkiem w tej przestrzeni:
 
  • Jeżeli   jest niepustym, domkniętym, ograniczonym zbiorem wypukłym takim, że   to zbiór   jest stożkiem o niepustym wnętrzu.

Bibliografia

edytuj