Iloczyny tensorowe C*-algebr

Iloczyny tensorowe C*-algebr – dla pary C*-algebr $A$ i $B,$ C*-algebry będące uzupełnieniami C*-norm na (algebraicznym) iloczynie tensorowym $A\odot B,$ uzależnionych od norm w $A$ i $B.$ W ogólności, może istnieć wiele nieizomorficznych iloczynów tensorowych danej pary C*-algebr. Każda C*-norma na $A\odot B$ jest normą krzyżową, tj. spełnia warunek

$\|a\otimes b\|=\|a\|\cdot \|b\|\quad (a\in A,b\in B).$

Iloczyny tensorowe C*-algebr były rozważane po raz pierwszy przez Takasi Turumaru w latach 50. XX w.

Minimalny iloczyn tensorowy C*-algebr

Niech $A$ i $B$ będą C*-algebrami oraz niech $\pi _{1}\colon A\to {\mathcal {B}}(H_{1}),$ $\pi _{2}\colon B\to {\mathcal {B}}(H_{2})$ będą, odpowiednio, ich reprezentacjami na przestrzeniach Hilberta $H_{1}$ i $H_{2}.$ Wzór

$(\pi _{1}\otimes \pi _{2})(a\otimes b)=\pi _{1}(a)\otimes \pi _{2}(b)\quad (a\in A,b\in B)$

definiuje reprezentację $\pi _{1}\otimes \pi _{2}$ *-algebry $A\odot B$ na iloczynie tensorowym przestrzeni Hilberta $H_{1}\otimes H_{2}.$

Minimalnym iloczynem tensorowym pary C*-algebr $A$ i $B$ nazywane jest uzupełnienie normy $\|{\cdot }\|_{\min }$ na $A\otimes B$ danej wzorem

${\Big \|}\sum _{k=1}^{n}a_{k}\otimes b_{k}{\Big \|}_{\min }=\sup _{\pi _{1},\pi _{2}}{\Big \|}\sum _{k=1}^{n}\pi _{1}(a_{k})\otimes \pi _{2}(b_{k}){\Big \|}\quad \;(a_{k}\in A,b_{k}\in B,k\leqslant n,n\in \mathbb {N} ),$

gdzie supremum przebiega po wszystkich reprezentacjach $\pi _{1},$ $\pi _{2},$ odpowiednio, algebr $A$ i $B.$ Minimalny iloczyn tensorowy jest zwykle oznaczany symbolem $A\otimes _{\min }B.$

Maksymalny iloczyn tensorowy C*-algebr

Maksymalnym iloczynem tensorowym pary C*-algebr $A$ i $B$ nazywane jest uzupełnienie normy $\|{\cdot }\|_{\max }$ na $A\otimes B$ danej wzorem

${\Big \|}\sum _{k=1}^{n}a_{k}\otimes b_{k}{\Big \|}_{\max }=\sup _{\pi }{\Big \|}\pi {\big (}\sum _{k=1}^{n}a_{k}\otimes b_{k}{\big )}{\Big \|}\quad \;(a_{k}\in A,b_{k}\in B,k\leqslant n,n\in \mathbb {N} ),$

gdzie supremum przebiega po wszystkich reprezentacjach $\pi$ (na przestrzeni Hilberta) *-algebry $A\otimes B.$ Maksymalny iloczyn tensorowy jest zwykle oznaczany symbolem $A\otimes _{\max }B.$

Nuklearne C*-algebry

Nazwy minimalny i maksymalny iloczyn tensorowy biorą się z następującego faktu – jeżeli $\|{\cdot }\|_{*}$ jest jakąkolwiek C*-normą na $A\odot B,$ to

$\|{\cdot }\|_{\min }\leqslant \|{\cdot }\|_{*}\leqslant \|{\cdot }\|_{\max }.$

C*-algebra $A$ nazywana jest nuklearną, gdy dla każdej innej C*-algebry $B$ normy minimalnego i maksymalnego iloczynu tensorowego w $A\otimes B$ są równe, tj.

$\|x\|_{\min }=\|x\|_{\max }\quad (x\in A\odot B).$

W przypadku tensorowania C*-algebry $A$ z nuklearną C*-algebrą $B$ symbolem $A\otimes B$ oznacza się najczęściej (jedyny) uzupełniony iloczyn tensorowy. Każda przemienna C*-algebra jest nuklearna.

Bibliografia

• M. Rørdam, Classification of nuclear simple C*-algebras, w: Classification of nuclear C*-algebras. Entropy in operator algebras, Encyclopaedia Math. Sci. 126, Berlin, New York: Springer-Verlag, 2002.