Transformata Gelfanda

Transformata Gelfanda – dla danej przemiennej algebry Banacha $A$ przyporządkowanie

a\mapsto {\hat {a}},\;\;\;a\in A

dane wzorem

{\hat {a}}(\gamma )=\gamma (a),

gdzie $\gamma$ jest elementem zbioru $\Phi _{A},$ tj. $\gamma$ należy do zbioru wszystkich niezerowych homomorfizmów algebry $A$ o wartościach w ciele liczb zespolonych^[1]. W zbiorze $\Phi _{A}$ wprowadza się najsłabszą topologię względem, której wszystkie jego elementy są funkcjami ciągłymi (tzw. topologię Gelfanda; zbiór $\Phi _{A}$ z topologią Gelfanda nazywany jest przestrzenią Gelfanda algebry $A$ ). Przestrzeń Gelfanda jest zawsze lokalnie zwartą przestrzenią Hausdorffa, przy czym jest ona zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy algebra $A$ ma jedynkę^[2]. Otoczenia bazowe danego punktu $\gamma _{0}$ z przestrzeni Gelfanda są postaci

U_{F}=\{\gamma \in \Phi _{A}\colon |\gamma (a)-\gamma _{0}(a)|<1,\;a\in F\},

gdzie $F$ jest skończonym podzbiorem $A.$ Zbiór

A_{\Gamma }=\{a\in A\colon \,{\hat {a}}=0\}

nazywany jest radykałem Gelfanda algebry $A.$ Radykał Gelfanda zawiera radykał Jacobsona algebry $A$ oraz dowolny jej komutator, tj. element postaci $ab-ba,$ gdzie $a$ i $b$ są elementami algebry $A.$

Transformata Gelfanda

{\hat {\,\cdot \,}}\colon A\to C(\Phi _{A})

jest ciągłym homomorfizmem algebr o wartościach w C*-algebrze wszystkich funkcji ciągłych na przestrzeni Gelfanda danej algebry.

Przypisy

↑ Zbiór ten jest kanonicznie tożsamy zbiorowi ideałów maksymalnych tej algebry. Każdemu homomorfizmowi wystarczy przyporządkować jego jądro Т. Гамелин (T. Gamelin): Равномерные алгебры. Москва: Мир, 1973, s. 13–14. (ros.).
↑ Przestrzenie Gelfanda pewnych funkcyjnych algebr Banacha są homeomorficzne z przestrzeniami, na których te algebry Banacha są określone. Jeśli $C(X)$ jest algebrą Banacha ciągłych funkcji zespolonych na zwartej przestrzeni Hausdorffa $X$ z normą supremum, to jej przestrzeń Gelfanda jest homeomorficzna z $X.$ Gamelin, op. cit., s. 16.

Bibliografia

H. Garth Dales: Banach algebras and automatic continuity. T. 24. Oxford: New Series (The Clarendon Press Oxford University Press), 2000, seria: London Mathematical Society Monographs.
Theodore W. Palmer: Banach algebras and the general theory of *-algebras. T. Volume 1, Algebras and Banach algebras. Cambridge: Cambridge University Press, 1994, s. 303–318.
Walter Rudin: Analiza funkcjonalna. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2009.
Гамелин Т.: Равномерные алгебры. Москва: Мир, 1973. (ros.).

[1] Zbiór ten jest kanonicznie tożsamy zbiorowi ideałów maksymalnych tej algebry. Każdemu homomorfizmowi wystarczy przyporządkować jego jądro Т. Гамелин (T. Gamelin): Равномерные алгебры. Москва: Мир, 1973, s. 13–14. (ros.).

[2] Przestrzenie Gelfanda pewnych funkcyjnych algebr Banacha są homeomorficzne z przestrzeniami, na których te algebry Banacha są określone. Jeśli $C(X)$ jest algebrą Banacha ciągłych funkcji zespolonych na zwartej przestrzeni Hausdorffa $X$ z normą supremum, to jej przestrzeń Gelfanda jest homeomorficzna z $X.$ Gamelin, op. cit., s. 16.

[1]

[2]