Macierz unitarna

Macierz unitarna – macierz kwadratowa o elementach zespolonych $U\in M_{n\times n}(\mathbb {C} )$ spełniająca własność:

$U^{\dagger }U=UU^{\dagger }=I_{n},$

gdzie:

$I_{n}$ jest macierzą jednostkową wymiaru $n,$

$U^{\dagger }$ jest sprzężeniem hermitowskim macierzy $U.$

Zauważmy, że własność ta oznacza, iż macierz $U$ posiada macierz odwrotną $U^{-1}$ równą sprzężeniu hermitowskiemu jej samej, czyli:

$U^{\dagger }=U^{-1}.$

Szczególnym przypadkiem macierzy unitarnej jest macierz ortogonalna, mająca wyłącznie rzeczywiste elementy. Macierze unitarne mają wyjątkowe znaczenie w mechanice kwantowej.

Macierze unitarne są szczególnym przypadkiem macierzy normalnych.

Macierz unitarna wymiaru $n\times n$ można sparametryzować za pomocą $n^{2}$ parametrów rzeczywistych (por. Parametryzacje macierzy unitarnych poniżej).

Własności macierzy unitarnej

Dla macierzy $U$ słuszne są następujące stwierdzenia:

• Dla dowolnych wektorów zespolonych $x$ and $y,$ mnożenie przez $U$ zachowuje ich iloczyn wewnętrzny, tzn.

  $\langle Ux,Uy\rangle =\langle x,y\rangle ,$

• $U$ można zdiagonalizować, co oznacza, że $U$ jest macierzą podobną do macierzy diagonalnej (jest to konsekwencją twierdzenia spektralnego); dlatego $U$ można rozłożyć do postaci

  $U=VDV^{\dagger },$

gdzie $V$ jest unitarna, zaś $D$ jest diagonalna i unitarna.

• Wyznacznik macierzy unitarnej jest liczbą zespoloną o module równym 1:

  $|\det(U)|=1,$

• Wektory własne macierzy $U$ są ortogonalne.
• $U$ może być zapisana w postaci $U=e^{iH}$ gdzie $e$ oznacza eksponentę macierzy, $i$ jest jednostką urojoną, zaś $H$ jest macierzą hermitowską.

Równoważne warunki

Jeżeli $U$ jest zespoloną macierzą kwadratową to następujące warunki są równoważne:

1. $U$ jest unitarna.
2. $U^{\dagger }$ jest unitarna.
3. macierz odwrotna do $U$ jest równa macierzy hermitowsko sprzężonej do $U,$ tj. $U^{-1}=U^{\dagger }.$
4. Kolumny $U$ tworzą bazę ortonormalną w $\mathbb {C} ^{n}$ ze względu na iloczyn wewnętrzny.
5. Wiersze $U$ tworzą bazę ortonormalną w $\mathbb {C} ^{n}$ ze względu na iloczyn wewnętrzny.
6. $U$ jest izometrią ze względu na zwykła normę.
7. $U$ jest macierzą normalną z wartościami własnymi leżącymi na okręgu jednostkowym.

Grupa unitarna

Dla dowolnej nieujemnej liczby całkowitej $n$ zbiór wszystkich $n\times n$ macierzy unitarnych z mnożeniem macierzy jako działaniem grupowym i macierzą jednostkową $n\times n$ jako elementem neutralnym mnożenia tworzy grupę, nazywaną grupą unitarną $U(n).$ Jest tak, gdyż zachodzą następujące własności:

• Iloczyn dwóch macierzy unitarnych $n\times n$ jest macierzą unitarną.
• Macierz odwrotna do macierzy unitarnej $n\times n$ jest unitarna.
• Macierz jednostkowa $n\times n$ jest unitarna.

Parametryzacje macierzy unitarnych

Macierze unitarne 1×1

Ogólna postać macierzy unitarnej 1×1:

$U=e^{i\varphi }{\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},$

która zależy od 1 rzeczywistego parametru $\varphi .$ Wyznacznik takiej macierzy wynosi:

$\det(U)=e^{i\varphi }.$

Przypadek gdy $\varphi =0$ jest trywialny: wyznaczniki macierzy jest równy 1, istnieje tylko jedna taka macierz o postaci $U={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},$ która tworzy 1-elementową grupę nazywana grupą SU(1).

Macierze unitarne 2×2

Ogólna postać macierzy unitarnej 2×2:

$U=e^{i\varphi }{\begin{bmatrix}a&b\\-{\overline {b}}&{\overline {a}}\end{bmatrix}},\qquad |a|^{2}+|b|^{2}=1,$

która zależy od 4 rzeczywistych parametrów ($\varphi$ oraz trzy parametry niezależne występujące w zapisie liczb zespolonych $a,b$). Wyznacznik takiej macierzy wynosi:

$\det(U)=e^{i\varphi }.$

Gdy $\varphi =0,$ to wyznaczniki macierzy jest równy 1. Grupa tworzona przez takie macierze unitarne jest nazywana grupą SU(2).

Macierz $U$ może być napisana w alternatywnej formie:

$U=e^{i\varphi }{\begin{bmatrix}e^{i\varphi _{1}}\cos \theta &e^{i\varphi _{2}}\sin \theta \\-e^{-i\varphi _{2}}\sin \theta &e^{-i\varphi _{1}}\cos \theta \end{bmatrix}};$

po podstawieniu $\varphi _{1}=\psi +\Delta$ and $\varphi _{2}=\psi -\Delta$ otrzymamy faktoryzację:

$U=e^{i\varphi }{\begin{bmatrix}e^{i\psi }&0\\0&e^{-i\psi }\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e^{i\Delta }&0\\0&e^{-i\Delta }\end{bmatrix}}.$

Wyrażenie to podkreśla związek między macierzami unitarnymi 2×2 a macierzami obrotu 2×2 o kącie obrotu $\theta .$

Jest wiele możliwych sposobów faktoryzowania danej macierzy.

Macierze unitarne 3×3

Ogólna postać macierzy unitarnej 3×3:

$U={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&e^{i\varphi _{4}}&0\\0&0&e^{i\varphi _{5}}\end{bmatrix}}K{\begin{bmatrix}e^{i\varphi _{1}}&0&0\\0&e^{i\varphi _{2}}&0\\0&0&e^{i\varphi _{3}}\end{bmatrix}},$

która zależy od 9 rzeczywistych parametrów: pięciu parametrów $\varphi _{n},n=1,2,3,4,5$ oraz 4 parametrów, za pomocą których wyraża się macierz $K,$ która jest macierzą Cabibbo-Kobayashi-Maskawa (jest to macierz unitarna 3×3).

Przykłady

(1) Macierz

$U={\begin{bmatrix}e^{-i}\end{bmatrix}}$

jest unitarna, ponieważ

$U\,U^{\dagger }={\begin{bmatrix}e^{-i}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e^{+i}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}e^{-i}e^{+i}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}}=I.$

(2) Macierz

$U={\begin{bmatrix}0&i\\i&0\end{bmatrix}}$

jest unitarna, ponieważ

$U\,U^{\dagger }={\begin{bmatrix}0&i\\i&0\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}0&-i\\-i&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-i^{2}&0\\0&-i^{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}=I.$

(3) Macierz

$U={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1+i&1-i\\1-i&1+i\end{bmatrix}}$

jest unitarna, ponieważ

$U\,U^{\dagger }={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1+i&1-i\\1-i&1+i\end{bmatrix}}\cdot {\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1-i&1+i\\1+i&1-i\end{bmatrix}}={\frac {1}{4}}{\begin{bmatrix}2(1+i)(1-i)&(1+i)^{2}+(1-i)^{2}\\(1-i)^{2}+(1+i)^{2}&2(1-i)(1+i)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}=I.$

(4) Każda macierz ortogonalna jest unitarna, ponieważ jest szczególnym przypadkiem macierzy unitarnych, np. macierz obrotu:

$R={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}.$

Macierze unitarne w fizyce

Macierze unitarne są powszechnie stosowane w mechanice kwantowej.

Macierz ewolucji czasowej

Dla przykładu operator ewolucji czasowej wektora stanu układu kwantowego można przedstawić w postaci macierzy unitarnej; wektor stanu w chwili $t$ otrzymuje się z pomnożenia wektora stanu w chwili $t_{0}$ przez macierz ewolucji czasowej $U(t,t_{0}),$ czyli

$|\Psi (t)\rangle =U(t,t_{0})|\Psi (t_{0})\rangle .$

Wektor sprzężony do powyższego wektora ma postać:

$\langle \Psi (t)|=\langle \Psi (t_{0})|U^{\dagger }(t,t_{0}).$

Ponieważ

$U^{\dagger }(t,t_{0})U(t,t_{0})=1,$

długość wektora stanu w chwili $t$ wynosi

$\langle \Psi (t)|\Psi (t)\rangle =\langle \Psi (t_{0})|U^{\dagger }(t,t_{0})U(t,t_{0})|\Psi (t_{0})\rangle =\langle \Psi (t_{0})|\Psi (t_{0})\rangle .$

Macierz unitarna ewolucji czasowej zachowuje więc długość wektora stanu. Dzięki temu możliwe jest nadanie interpretacji probabilistycznej formalizmowi mechaniki kwantowej.

Wartość oczekiwana pomiaru

Wartość oczekiwaną pomiaru $\langle O\rangle (t)$ w chwili $t$ z pomiaru wykonanego na zespole identycznie przygotowanych układów kwantowych, gdzie pomiarowi wielkości fizycznej $O$ odpowiada operator pomiaru ${\hat {O}}$ (reprezentowany przez macierz hermitowską), oblicza się ze wzoru:

$\langle {\hat {O}}\rangle (t)=\langle \Psi (t)|{\hat {O}}\Psi (t)\rangle ,$

co oznacza, że należy obliczyć wynik działania operatora pomiaru na stan $|\Psi (t)\rangle$ układu w chwili $t$ i pomnożyć wynik przez wektor sprzężony. Korzystając z zależności czasowej wektora stanu (wzory 1 i 2 powyżej), otrzymamy:

$\langle O\rangle (t)=\langle \Psi (t)|{\hat {O}}\Psi (t)\rangle =\langle \Psi (t_{0})|U^{\dagger }(t,t_{0}){\hat {O}}U(t,t_{0})|\Psi (t_{0})\rangle .$

Jeżeli oznaczymy

${\hat {O}}(t)=U^{\dagger }(t,t_{0}){\hat {O}}U(t,t_{0}),$

to powyższy wzór przyjmie postać:

$\langle O\rangle (t)=\langle \Psi (t_{0})|{\hat {O}}(t)\Psi (t_{0})\rangle .$

Wartość oczekiwana z pomiaru w chwili $t_{0}$ ma postać:

$\langle O\rangle (t_{0})=\langle \Psi (t_{0})|{\hat {O}}(t_{0})\Psi (t_{0})\rangle .$

Widać z powyższego, że wartość oczekiwaną z pomiaru można obliczać działając na wektor stanu operatorem pomiaru, którego postać ewoluuje w czasie zgodnie ze wzorem ${\hat {O}}(t)=U^{\dagger }(t,t_{0}){\hat {O}}U(t,t_{0}).$

Jest to tzw. obraz Heisenberga, w którym wektor stanu nie zmienia się z upływem czasu, ale zmieniają się operatory.

Inne przykłady macierzy unitarnych w fizyce

• macierze sigma (Pauliego)
• macierze gamma (Diraca)
• macierz S
• macierz CKM

Zobacz też

• macierz hermitowska
• macierz ortogonalna
• macierz sprzężona
• macierz transponowana
• operator normalny
• przestrzeń unitarna
• symetria unitarna

Bibliografia

• ClaudeC. Cohen-Tannoudji ClaudeC., Bernard Diu, Frank Laloë, Quantum Mechanics 1, New York: Hermann, 1977, ISBN 978-0471569527 .

Literatura dodatkowa

• T. Trajdos, Matematyka, cz. III, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 2004, s. 94–123.

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Unitary Matrix, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2022-07-02].