Przestrzeń c0

Przestrzeń c₀ – przestrzeń Banacha wszystkich ciągów liczbowych $(\xi _{k})$ zbieżnych do 0 z normą supremum, to znaczy

$\|(\xi _{k})_{k=1}^{\infty }\|=\sup _{k\in \mathbb {N} }|\xi _{k}|.$

Przestrzeń $c_{0}$ może być w naturalny sposób utożsamiona z podprzestrzenią liniową przestrzeni wszystkich ciągów ograniczonych ℓ_∞, a także z przestrzenią funkcji ciągłych znikających w nieskończoności na zbiorze liczb naturalnych z topologią dyskretną.

Własności

• Przestrzeń $c_{0}$ jest ośrodkową przestrzenią Banacha.
• Przestrzeń ta ma bazę Schaudera. Rodzina ciągów $(e_{n}),$ które na $n$-tym miejscu mają jedynkę, a poza tym są równe zeru jest bezwarunkową bazą Schaudera tej przestrzeni. Baza ta nazywana jest kanoniczną bazą w przestrzeni $c_{0}.$

Dowód. Niech $x=(\xi _{k})\in c_{0}$ oraz dla każdego $n$ niech $S_{n}=\xi _{1}e_{1}+\ldots +\xi _{n}e_{n}.$ Mamy

$\|x-S_{n}\|=\|(0,0,\dots ,0,\xi _{n+1},\xi _{n+2},\xi _{n+2},\dots )\|=\sup _{k\geqslant n+1}|\xi _{k}|\to 0$

ponieważ ciąg $(\xi _{k})$ jest zbieżny do 0. Oznacza to, że

$x=\sum _{k=1}^{\infty }\xi _{k}e_{k}.$

Ponieważ powyższe przedstawienie jest jednoznaczne $(e_{n})$ jest istotnie bazą Schaudera w $c_{0}.$ Bezwarunkowość tej bazy wynika z następującej obserwacji. Dla każdego ciągu skalarów $(\varepsilon _{k})$ spełniających warunek $|\varepsilon _{k}|=1$ dla każdego $k$ zachodzi

$\sup _{k\in \mathbb {N} }|\varepsilon _{k}\xi _{k}|=\sup _{k\in \mathbb {N} }|\varepsilon _{k}|\,|\xi _{k}|=\sup _{k\in \mathbb {N} }|\xi _{k}|=\|x\|.$

Oznacza to, że $(e_{n})$ jest bezwarunkową bazą Schaudera ze stałą 1.

• Domknięta kula jednostkowa przestrzeni $c_{0}$ nie zawiera punktów ekstremalnych. Z twierdzenia Krejna-Milmana wynika, że $c_{0}$ nie jest izometryczna z żadną przestrzenią sprzężoną. W szczególności, przestrzeń $c_{0}$ nie jest refleksywna.
• Indeks Szlenka przestrzeni $c_{0}$ wynosi $\omega .$
• Każda domknięta nieskończenie wymiarowa podprzestrzeń przestrzeni $c_{0}$ zawiera podprzestrzeń izomorficzną z przestrzenią $c_{0}.$
• Twierdzenie Sobczyka mówi, że każda podprzestrzeń ośrodkowej przestrzeni Banacha $X,$ która jest izomorficzna z $c_{0}$ jest komplementarna w $X,$ tj. istnieje ograniczony rzut z $X$ na tę podprzestrzeń. Z drugiej strony, żadna podprzestrzeń izomorficzna z $c_{0}$ przestrzeni $\ell _{\infty }$ nie jest komplementarna.
• Przestrzeń $c_{0}$ jest izomorficzna z przestrzenią $c$ wszystkich ciągów zbieżnych poprzez izomorfizm $T\colon c\to c_{0}$ dany wzorem $T(a)=a-\lim a.$ Przestrzeń $c_{0}$ jest izomorficzna również z przestrzenią cs szeregów sumowalnych.

Dualność

• Przestrzeń sprzężoną do przestrzeni $c_{0}$ utożsamia się w sposób izometryczny z przestrzenią ℓ₁. Dualność ta wyznaczona jest przez związek

$\langle x,y\rangle =\sum _{n=1}^{\infty }x_{n}y_{n}\;\;\;{\big (}x=(x_{n})_{n=1}^{\infty }\in c_{0},\;y=(y_{n})_{n=1}^{\infty }\in \ell _{1}{\big )}.$

• Przestrzeń $c_{0}$ nie jest słabo ciągowo zupełna.

Dowód. Ciąg $(u_{n})$ elementów przestrzeni $c_{0}$ danych wzorami

$u_{n}=(\underbrace {1,1,\dots ,1} _{n},0,0,\dots )$

jest słabym ciągiem Cauchy’ego, gdyż dla każdego ciągu $y=(y_{n})\in \ell _{1}$ granica $\lim \langle u_{n},y\rangle$ istnieje i równa się $\Sigma _{n}y_{n}.$ Ciąg $(u_{n})$ nie jest jednak słabo zbieżny.

Operatory o wartościach w c₀

Niech $X$ będzie przestrzenią Banacha. Wówczas ograniczone operatory liniowe $T\colon X\to c_{0}$ są we wzajemnej odpowiedniości z ciągiami $(f_{n})$ w przestrzeni sprzężonej $X^{*},$ które są *-słabo zbieżne do 0. Istotnie, jeżeli $T\colon X\to c_{0}$ jest ograniczonym operatorem liniowym, to ciąg $(T^{*}e_{n}^{*})$ w $X^{*}$ jest *-słabo zbieżny do 0, przy czym $(e_{n}^{*})$ oznacza kanoniczną bazę $\ell _{1}$ utożsamioną z przestrzenią sprzężoną do $c_{0}.$ Z drugiej strony, jeżeli $(f_{n})$ jest ciągiem *-słabo zbieżnym do 0, to operator $T\colon X\to c_{0}$ dany wzorem $Tx=\langle x,f_{n}\rangle ,$ gdzie $x\in X,$ jest liniowy i ograniczony.

Uogólnienie

Dla dowolnego zbioru $\Gamma$ można zdefiniować przestrzeń

$c_{0}(\Gamma )={\big \{}f\colon \Gamma \to \mathbb {C} \colon {\mbox{dla każdego }}\varepsilon >0{\mbox{ zbiór }}\{s\in \Gamma \colon |f(s)|\geqslant \varepsilon \}{\mbox{ jest skończony}}{\big \}},$

wyposażona w normę supremum jest przestrzenią Banacha. Dla dowolnego zbioru $\Gamma$ przestrzeń ta jest typu WCG oraz

$c_{0}(\Gamma )^{*}\cong \ell _{1}(\Gamma ).$

Gdy zbiór $\Gamma$ jest przeliczalny przestrzeń ta jest izometrycznie izomorficzna z klasyczną przestrzenią $c_{0}.$

Przestrzeń c₀ a przestrzenie sprzężone

Przestrzeń $c_{0}$ nie jest izomorficzna z przestrzenią sprzężoną do żadnej przestrzeni Banacha.

Dowód. Przestrzeń Banacha $E,$ która jest izomorficzna z komplementarną podprzestrzenią pewnej przestrzeni sprzężonej $F^{*}$ jest komplementarna w $E^{**},$ gdzie $E$ utożsamia się z kanonicznym włożeniem w $E^{**}.$ Gdyby zatem przestrzeń $c_{0}$ była izomorficzna z pewną przestrzenią sprzężoną $F^{*},$ przeczyłoby to twierdzeniu Phillipsa-Sobczyka mówiącemu, że $c_{0}$ nie jest komplementarne w $c_{0}^{**}\cong \ell _{\infty }.$

Bessaga i Pełczyński udowodnili w 1958 następujące twierdzenie mówiące, że

Jeżeli przestrzeń $c_{0}$ jest izomorficzna z podprzestrzenią $Y^{*}$ dla pewnej przestrzeni $Y,$ to $Y$ zawiera komplementarną podprzestrzeń izomorficzną z przestrzenią ℓ₁. W szczególności, $Y^{*}$ zawiera podprzestrzeń izomorficzną z $\ell _{\infty }.$

Szkic dowodu. Niech $T\colon c_{0}\to Y^{*}$ będzie izomorfizmem. Wówczas operator sprzężony $T^{*}\colon Y^{**}\to \ell _{1}$ jest suriektywny. Niech ponadto $S=T^{*}|_{Y}$ oraz niech $(e_{n})$ oznacza bazę kanoniczną w obrazie operatora $T.$ Zachodzi więc

$\langle e_{n},Sy\rangle =\langle Te_{n},y\rangle \;\;\;(y\in Y,\,n\in \mathbb {N} ).$

Stąd

$Sy=(\langle e_{1},Sy\rangle ,\langle e_{2},Sy\rangle ,\dots )=(\langle Te_{1},y\rangle ,\langle Te_{2},y\rangle ,\dots )\;\;(y\in Y).$

Z suriektywności operatora $T^{*}$ wynika, że istnieje $K>0$ oraz ciąg funkcjonałów $(y_{n}^{**})$ w $Y^{**}$ o tej własności, że

$\|y_{n}^{**}\|\leqslant K,\;\;T^{*}(y_{n}^{**})=e_{n}^{*},$

gdzie $(e_{n})$ oznacza bazę kanoniczną w $\ell _{1}.$ Z twierdzenia Goldstine’a wynika, że zbiór $K$· $B_{Y}$ jest *-słabo gęsty w $K\cdot B_{Y^{**}},$ a więc istnieje taki ciąg $(y_{n})$ w $Y,$ że

$\|y_{n}\|\leqslant K\;\;(n\in \mathbb {N} )$

oraz

$|\langle Te_{n},y_{n}\rangle -1|<{\tfrac {1}{n}},\,\,\,\sum _{k=1}^{n-1}|\langle Te_{k},y_{n}\rangle |<{\tfrac {1}{n}},$

przy czym funkcjonały $Te_{1},\dots ,Te_{n}$ wyznaczają tutaj pewne *-słabe otoczenie $y_{n}^{**}.$ Zachodzi również

$\langle y_{n}^{**},Te_{k}\rangle =\langle e_{n}^{*},e_{k}\rangle =\delta _{nk}.$

Wynika stąd, że pierwszych $n$-1 współrzędnych $Sy_{n}$ jest małych w porównaniu do $n$-tej współrzędnej. Z ciągu $Sy_{n}$ można więc wybrać podciąg równoważny bazie przestrzeni ℓ₁, który generuje podprzestrzeń komplementarną i izomorficzną z $\ell _{1}.$ Niech $P$ oznacza rzutowanie na podprzestrzeń generowaną przez $Sy_{n}$ w $\ell _{1}.$ Wybierając ewentualnie podciąg, można dobrać taką stałą $M>0,$ że

$\left\|\sum _{k=1}^{n}a_{k}y_{k}\right\|\leqslant K\sum _{k=1}^{n}|a_{n}|\leqslant KM\left\|\sum _{k=1}^{n}a_{k}Sy_{k}\right\|_{\ell _{1}}\leqslant KM\|S\|\left\|\sum _{k=1}^{n}a_{k}y_{k}\right\|.$

Oznacza to, że operator $S$ zacieśniony do podprzestrzeni generowanej przez $(y_{n})$ jest odwracalny oraz operator $Q=S^{-1}PS$ jest rzutowaniem na podprzestrzeń w $Y$ izomorficzną z $\ell _{1},$ co kończy dowód.

Bibliografia

• G. Godefroy, The Banach space c₀, „Extracta Mathematicae”, 2001, 16, 1–25.
• JoramJ. Lindenstrauss JoramJ., LiorL. Tzafriri LiorL., Classical Banach Spaces I and II: Sequence Spaces; Function Spaces, Berlin [etc.]: Springer, 1996, ISBN 3-540-60628-9, OCLC 835840252 . Brak numerów stron w książce
• J. Musielak Wstęp do analizy funkcjonalnej, PWN, Warszawa 1989.