*-pierścień

*-pierścień – pierścień (łączny) $A$ z dodatkowym działaniem jednoargumentowym (nazywanym inwolucją), oznaczanym symbolem *, spełniającym dla wszystkich elementów $x$ i $y$ pierścienia warunki

1. $(x+y)^{*}=x^{*}+y^{*}$
2. $(xy)^{*}=y^{*}x^{*}$
3. $(x^{*})^{*}=x$

*-algebra

*-pierścień, który jest algebrą nad innym *-pierścieniem nazywa się *-algebrą.

Np. *-pierścień nad ciałem liczb zespolonych ze sprzężeniem zespolonym jako inwolucją.

*-homomorfizm

Jeżeli $A$ i $B$ są *-algebrami to homomorfizm algebr $h\colon A\to B$ nazywa się *-homomorfizmem, gdy

$h(a^{*})=(h(a))^{*}$

dla wszystkich elementów $a$ algebry $A.$

Element samosprzężony

Element $a$ pierścienia $A$ nazywa się samosprzężonym, gdy $a^{*}=a.$

Przykłady

• Naturalnym przykładem *-pierścienia (i trywialnie *-algebry jako algebry nad samym sobą) jest ciało liczb zespolonych ze sprzężeniem jako inwolucją.
• Algebra macierzy kwadratowych stopnia n nad ciałem liczb zespolonych z inwolucją będącą sprzężeniem hermitowskim macierzy jest *-algebrą.
• Ogólniej, dla danej przestrzeni Hilberta $H,$ algebra wszystkich ograniczonych operatorów liniowych na $H$ z inwolucją będącą przyporządkowaniem operatora sprzężonego, jest *-algebrą.
• Iloczyn tensorowy $A\otimes B$ utworzony z *-algebr $A$ oraz $B$ jest *-algebrą i dla $a\in A$ oraz $b\in B$ zachodzi warunek

$(a\otimes b)^{*}=a^{*}\otimes b^{*}.$

Zobacz też

• C*-algebra
• algebra von Neumanna
• pierścień Baera
• algebra operatorów

Bibliografia

• H.G. Dales, Banach algebras and automatic continuity, Claren- don Press, Oxford, 2000, s. 142–150.