Operator normalny

Operator normalny – operator liniowy i ograniczony $N\colon H\to H$ na przestrzeni Hilberta $H,$ który komutuje ze swoim sprzężeniem $N^{*},$ tj.

$NN^{*}=N^{*}N.$

Analogicznie pojęcie elementu normalnego wprowadza się w kontekście *-algebr (w szczególności, C*-algebr) – element a *-algebry A nazywa się normalnym, gdy

$aa^{*}=a^{*}a.$

Własności

Operatory normalne opisuje twierdzenie spektralne. Operator ograniczony $T$ jest normalny wtedy i tylko wtedy, gdy

$\|Tx\|=\|T^{*}x\|\;\;(x\in H).$

Innym warunkiem równoważnym normalności jest równość

$\langle T^{*}x,T^{*}y\rangle =\langle Tx,Ty\rangle \;\;(x,y\in H).$

Operator sprzężony do operatora normalnego jest również normalny: $N$ oraz $N^{\star }$ mają to samo jądro i obraz. Wynika stąd, że obraz $N$ jest gęsty w $H$ wtedy i tylko wtedy, gdy $N$ jest iniektywny. Poza tym

$\|N^{2}\|=\|N\|^{2}$

oraz

$\nu (N)=\|N\|,$

gdzie $\nu (N)$ oznacza promień spektralny operatora $N.$

Przykłady

Przykładami operatorów normalnych są:

• operatory unitarne $(N^{*}=N^{-1}),$
• operator samosprzężony $(N^{*}=N),$
• operatory dodatnie $(N=MM^{*}),$
• operatory rzutu ortogonalnego $(N=N^{*}=N^{2}),$
• macierze normalne mogą być postrzegane jako operatory normalne na $n$-wymiarowej przestrzeni Hilberta $\mathbb {C} ^{n}.$

Zobacz też

• operator podnormalny
• operator quasi-normalny