Przestrzeń Hausdorffa

Przestrzeń Hausdorffa – wprowadzony przez Feliksa Hausdorffa rodzaj przestrzeni topologicznej o porządnych właściwościach. Ta naturalna własność była początkowo postulowana w definicji przestrzeni topologicznej, jednak wraz z rozwojem teorii wydzielono ją jako jeden z możliwych „aksjomatów oddzielania” nakładanych na abstrakcyjną przestrzeń topologiczną (zob. Przykłady). Z tego powodu o przestrzeniach Hausdorffa mówi się też, iż spełniają aksjomat „$T_{2}$” bądź, według innej klasyfikacji, aksjomat „$R_{1}$”; dla zwięzłości określa się je również jako „przestrzenie $T_{2}$” (bądź „$R_{1}$”).

Punkty $x,y$ są rozdzielone przez ich otoczenia otwarte $U,V.$

Przestrzeń topologiczną $X$ nazywa się przestrzenią Hausdorffa, jeżeli dla dowolnych dwóch różnych jej punktów $x,y$ można wskazać ich rozłączne otoczenia $U,V,$ tzn. takie rozłączne zbiory otwarte tej przestrzeni, które spełniałyby $x\in U$ oraz $y\in V.$

Przykłady

Większość naturalnych przykładów przestrzeni topologicznych spełnia własność Hausdorffa, w szczególności są to przestrzenie: liczb rzeczywistych z topologią naturalną (ogólniej przestrzenie euklidesowe), czy przestrzenie metryczne.

Każda przestrzeń regularna ($T_{3}$) jest przestrzenią Hausdorffa ($T_{2}$), lecz niekoniecznie na odwrót: przykładem może być przedział jednostkowy $X=[0,1]$ z topologią otrzymaną jako rozszerzenie topologii naturalnej (tzn. prostej rzeczywistej) o zbiór $[0,1]\setminus \left\{{\frac {1}{n}}\colon n=2,3,4,\dots \right\}.$

Podobnie każda przestrzeń $T_{2}$ jest przestrzenią $T_{1}$, choć niewykluczona jest sytuacja odwrotna – przykładami mogą być zbiór liczb rzeczywistych z topologią dopełnień skończonych, w której zbiorami otwartymi są tylko zbiór pusty i zbiory o skończonych dopełnieniach, czy analogicznie definiowaną topologią dopełnień co najwyżej przeliczalnych.

Własności

• Przestrzeń $X$ jest Hausdorffa wtedy i tylko wtedy, gdy przekątna $\{(x,x)\colon x\in X\}$ jest zbiorem domkniętym w przestrzeni produktowej $X\times X.$
• Niech $f,g\colon X\to Y$ będą przekształceniami ciągłymi dowolnej przestrzeni topologicznej $X$ w przestrzeń Hausdorffa $Y.$ Wówczas zbiór $\{x\in X\colon f(x)=g(x)\}$ argumentów, na którym wartości tych funkcji są równe, jest domknięty w $X.$ W szczególności, jeśli wykresy $f,g$ pokrywają na zbiorze gęstym przestrzeni $X,$ to są one równe.
• Ciągi zbieżne w przestrzeni Hausdorffa mają wyłącznie jedną granicę, tzn. granica ciągu zbieżnego jest wyznaczona jednoznacznie.
• Własność „hausdorffowości” przestrzeni jest dziedziczna, tzn. podprzestrzeń przestrzeni Hausdorffa jest przestrzenią Hausdorffa.
• Przestrzeń produktowa przestrzeni Hausdorffa również jest Hausdorffa.
• Zwarte podprzestrzenie przestrzeni Hausdorffa są domknięte (istnieją przestrzenie $T_{1}$ niemające tej własności).

Zobacz też

• aksjomaty oddzielania: T₀, T₁, T₂, T₃,…

Bibliografia

• Engelking Ryszard, Topologia ogólna, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 2007, ISBN 978-83-01-15254-3, s. 52-53.
• Kuratowski, Kazimierz, Topology, Volume I, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1966, s. 50–51.