Przestrzeń ośrodkowa

Przestrzeń topologiczna ośrodkowa – przestrzeń topologiczna $(X,\tau )$ zawierająca taki podzbiór, który jest przeliczalny i gęsty. Podzbiór ten nazywany jest ośrodkiem.

Ten sam zbiór $X$ może tworzyć przestrzeń ośrodkową lub nie – zależy to od doboru topologii $\tau .$ Np. zbiór liczb rzeczywistych

• tworzy przestrzenią ośrodkową z topologią generowaną przez metrykę euklidesową – ośrodkiem jest zbiór liczb wymiernych,
• nie tworzy przestrzeni ośrodkowej z topologią dyskretną (każdy punkt w tej topologii jest zbiorem otwartym).

Podstawowe własności

1. Przestrzeń topologiczna o bazie przeliczalnej, tzn. przestrzeń spełniająca drugi aksjomat przeliczalności, jest ośrodkowa. Z drugiej strony prosta Sorgenfreya jest przykładem przestrzeni topologicznej ośrodkowej, która nie ma przeliczalnej bazy.
2. Przestrzeń metryzowalna jest ośrodkowa wtedy i tylko wtedy, gdy przestrzeń posiada bazę przeliczalną.
3. Podprzestrzeń przestrzeni metrycznej ośrodkowej jest ośrodkowa. (Założenie metryzowalności jest istotne – produkt dwóch prostych Sorgenfreya jest przestrzenią ośrodkową posiadającą podprzestrzeń dyskretną mocy continuum, a więc nieośrodkową.)
4. Przestrzeń zwarta metryczna jest ośrodkowa.
5. Iloczyn kartezjański maksymalnie $2^{\aleph _{0}}$ wielu przestrzeni ośrodkowych jest ośrodkowy.
6. Obrazem ciągłym przestrzeni ośrodkowej jest przestrzeń ośrodkowa.
7. Ośrodkowa przestrzeń Hausdorffa ma moc nie większą niż $2^{\mathfrak {c}},$ gdzie ${\mathfrak {c}}$ to continuum. Fakt ten nie jest prawdziwy dla przestrzeni spełniających aksjomat $T_{1}.$ Istotnie niech $X$ będzie dowolnym zbiorem nieskończonym, na którym rozważamy topologię składającą się ze zbiorów będących dopełnieniami zbiorów skończonych, tzn. $\tau =\{X\setminus F:F$ jest skończony $\}.$ Wówczas $(X,\tau )$ jest przestrzenią $T_{1},$ w której ośrodkiem jest dowolny zbiór przeliczalny nieskończony. To pokazuje, że istnieją ośrodkowe przestrzenie $T_{1}$ dowolnej mocy.

Zobacz też

• przestrzeń spójna
• przestrzeń topologiczna
• przestrzeń topologicznie zupełna
• przestrzeń zwarta