Przestrzeń T4

Przestrzeń normalna i przestrzeń T₄ to terminy w topologii opisujące tę samą lub bardzo pokrewne własności oddzielania.

Mówi się, że w przestrzeni topologicznej $X$ rozłączne zbiory domknięte mogą być oddzielane przez zbiory otwarte jeśli dla każdych rozłącznych zbiorów domkniętych $E,F\subseteq X$ można znaleźć takie rozłączne zbiory otwarte $U,V\subseteq X$ że

$E\subseteq U$ i $F\subseteq V.$

Zbiory domknięte $E$ i $F,$ przedstawione jako zaczernione obszary są rozdzielone przez ich odpowiednie otoczenia otwarte $U$ i $V,$ przedstawione tutaj jako większe okręgi

Czasami w sytuacji jak przedstawiona na rysunku powyżej mówi się, że zbiory domknięte $E,F$ są rozdzielone przez otoczenia otwarte $U,V.$

Przestrzeń topologiczna $X$ jest przestrzenią normalną (albo $T_{4}$) wtedy i tylko wtedy, gdy $X$ jest przestrzenią T₁ w której rozłączne zbiory domknięte mogą być oddzielane przez zbiory otwarte.

Dyskusja nazewnictwa

Istnieją pewne niekonsekwencje w użyciu terminów przestrzeń normalna i przestrzeń T₄ w literaturze. Na przykład Kuratowski w swojej monografii definiuje

• przestrzeń normalną jako przestrzeń topologiczną w której rozłączne zbiory domknięte mogą być oddzielane przez zbiory otwarte i nie wprowadza on pojęcia przestrzeni T₄.

Z drugiej strony Engelking definiuje

• bycie przestrzenią normalną i bycie przestrzenią T₄ jako tę samą własność (pokrywającą się z naszym znaczeniem przestrzeni normalnej).

Z powodu tych i podobnych rozbieżności, czytelnik literatury topologicznej powinien zawsze upewnić się co do znaczenia terminów stosowanych w danym artykule czy też książce. Wydaje się jednak że terminologia stosowana przez Engelkinga jest najbardziej popularna i my także będziemy się jej trzymać.

Przykłady

• Następujące przestrzenie topologiczne są przestrzeniami normalnymi: przestrzeń liczb rzeczywistych z naturalną topologią, przestrzenie euklidesowe i ogólniej przestrzenie metryczne.
• Każda zwarta przestrzeń Hausdorffa jest normalna.
• Każda regularna przestrzeń Lindelöfa jest normalna.
• Płaszczyzna Niemyckiego jest przykładem przestrzeni Tichonowa, która nie jest normalna.
• Jeśli CH jest prawdziwa i $p\in \beta {\mathbb {N} }\setminus {\mathbb {N} },$ to

$(\beta {\mathbb {N} }\setminus {\mathbb {N} })\setminus \{p\}$

nie jest przestrzenią normalną (ale jest całkowicie regularna). W tym przykładzie $\beta {\mathbb {N} }$ jest uzwarceniem Čecha-Stone’a dyskretnej przestrzeni $\mathbb {N}$ liczb naturalnych.

Własności

• Każda przestrzeń normalna jest przestrzenią Tichonowa. Zachodzi nawet mocniejszy lemat Urysohna:

Jeśli $X$ jest przestrzenią normalną i $E,F\subseteq X$ są jej rozłącznymi podzbiorami domkniętymi, to istnieje taka funkcja ciągła

$F:X\longrightarrow [0,1]$

że $f(x)=0$ dla $x\in E$ oraz $f(x)=1$ dla $x\in F.$

• Zachodzi również następujące twierdzenie Tietzego-Urysohna:

Jeśli $X$ jest przestrzenią normalną, $F\subseteq X$ jest jej podzbiorem domkniętym i

$f:F\longrightarrow {\mathbb {R} }$

jest funkcją ciągłą, to istnieje funkcja ciągła

$g:X\longrightarrow {\mathbb {R} }$

przedłużająca $f$ (tzn. $g(x)=f(x)$ dla wszystkich $x\in F$).

• Żadna ośrodkowa przestrzeń normalna nie zawiera domkniętej dyskretnej podprzestrzeni mocy continuum.
• Domknięte podprzestrzenie przestrzeni normalnej są normalne. Obraz przestrzeni normalnej przez (ciągłe) odwzorowanie domknięte jest przestrzenią normalną.
• Podprzestrzeń przestrzeni normalnej nie musi być normalna (czyli własność być przestrzenią normalną nie jest własnością dziedziczną). Także iloczyn kartezjański (z topologią Tichonowa) przestrzeni $T_{4}$ nie musi być przestrzenią $T_{4}.$
• Twierdzenie Borsuka o przedłużaniu homotopii.

Produkty przestrzeni normalnych

Prosta Sorgenfreya $X$ jest przestrzenią normalną, ale jej kwadrat $X\times X$ nie jest normalny. A.H. Stone udowodnił, że iloczyn kartezjański nieprzeliczalnie wielu niezwartych przestrzeni metrycznych nie jest przestrzenią normalną. Założenia metryczności nie można pominąć, gdyż produkt ${\omega _{2}}^{\omega _{1}}$ jest przestrzenią normalną.

Zobacz też

• aksjomaty oddzielania
• przestrzeń Tichonowa $(T_{3{^{1}\!/_{2}}}\!)$
• przestrzeń dziedzicznie normalna $(T_{5})$