Lemat Urysohna

Lemat Urysohna – twierdzenie topologii ogólnej, mówiące, że dla każdej pary niepustych, domkniętych i rozłącznych podzbiorów A i B w przestrzeni metrycznej X (bądź ogólniej, przestrzeni normalnej X) istnieje taka funkcja ciągła

f: X → [0,1],

że f(x) = 0 dla każdego x ∈ A oraz f(x) = 1 dla każdego x ∈ B. Lemat Urysohna charakteryzuje przestrzenie normalne w tym sensie, iż przestrzeń topologiczna spełniająca warunek T₁ jest normalna wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi teza powyższego stwierdzenia.

Twierdzenie to zostało udowodnione przez Pawła Urysohna i opublikowane w 1925 roku.

Zastosowania

Lematu Urysohna używa się często do dowodu twierdzenia Tietziego-Urysohna. Używany on bywa również do dowodu twierdzenia Riesza o reprezentacji funkcjonałów liniowych i ciągłych na przestrzeni Banacha C₀(K) funkcji ciągłych i znikających w nieskończoności na lokalnie zwartej przestrzeni Hausdorffa K.