Prosta Sorgenfreya

Prosta Sorgenfreya, prosta z topologią Sorgenfreya, prosta z topologią strzałki, strzałka Niemyckiego – zbiór liczb rzeczywistych z topologią wprowadzoną przez bazę:

${\mathcal {B}}={\big \{}[a,b)\colon a,b\in \mathbb {R} ,a<b{\big \}}.$

Zbiór liczb rzeczywistych z topologią Sorgenfreya oznaczany bywa czasem symbolem $\mathbb {R} _{l}.$

Nazwa pojęcia pochodzi od nazwiska matematyka amerykańskiego, Roberta Sorgenfreya. Przestrzeń ta, podobnie jak płaszczyzna Niemyckiego czy zbiór Cantora, jest często wykorzystywanym kontrprzykładem w topologii ogólnej.

Własności

• Topologia strzałki jest silniejsza (większa) od naturalnej topologii (euklidesowej) na prostej ponieważ każdy przedział otwarty można przedstawić jako sumę (nieskończenie wielu) przedziałów jednostronnie otwartych.
• Dla dowolnych liczb rzeczywistych $a,b$ $(a<b),$ przedział $[a,b)$ jest zbiorem otwarto-domkniętym w topologii Sorgenfreya. Ponadto, dla dowolnego $a\in \mathbb {R} ,$ przedziały

$(-\infty ,a),[a,\infty )$

są również otwarto-domknięte. Oznacza to, że prosta Sorgenfreya jest całkowicie niespójna.

• Topologia strzałki spełnia pierwszy aksjomat przeliczalności i jest ośrodkowa (na przykład, zbiór liczb wymiernych jest gęsty w $\mathbb {R}$ w topologii Sorgenfreya), ale nie spełnia ona drugiego aksjomatu przeliczalności. Wobec tego nie jest metryzowalna (ponieważ wszystkie ośrodkowe przestrzenie metryczne spełniają drugi aksjomat przeliczalności).
• Prosta Sorgenfreya jest przestrzenią doskonale normalną.
• Produkt dwóch prostych Sorgenfreya nie jest przestrzenią normalną.

Dowód. Zbiór

$D=\{(-x,x)\colon x\in \mathbb {R} \}$

jest dyskretny i domknięty w $\mathbb {R} _{l}\times \mathbb {R} _{l}.$ Istotnie, ponieważ jest on domknięty w standardowej topologii euklidesowej, która jest słabsza jest on także domknięty w topologii mocniejszej. Dyskretność wynika z tego, że dla każdego $x\in \mathbb {R}$ część wspólna ze zbiorem otwartym $[-x,-x+1)\times [x,x+1)$ jest jednoelementowa. Ponieważ $D$ jest dyskretnym i domkniętym zbiorem mocy continuum, ma on $2^{\mathfrak {c}}>{\mathfrak {c}}$ zbiorów domkniętych (każdy podzbiór jest domknięty). Gdyby produkt $\mathbb {R} _{l}\times \mathbb {R} _{l}$ był normalny, przeczyłoby to twierdzeniu Tietzego z którego wynikałoby, że na tej przestrzeni jest $2^{\mathfrak {c}}$ różnych funkcji ciągłych, a jest ich tylko continuum z uwagi na ośrodkowość prostej Sorgenfreya (a więc też produktu jej dwóch kopii).

• Prosta Sorgenfreya jest przestrzenią Baire’a.

Dowód. Podzbiór $X\subseteq \mathbb {R}$ jest gęsty w $\mathbb {R}$ w topologii Sorgenfreya wtedy i tylko wtedy, gdy jest gęsty w $\mathbb {R}$ w zwykłej topologii euklidesowej. Niech $(V_{n})_{n=1}^{\infty }$ będzie ciągiem zbiorów otwartych i gęstych w $\mathbb {R}$ w topologii Sorgenfreya. Dla każdego $n$ niech $U_{n}$ oznacza wnętrze zbioru $V_{n}$ w sensie topologii euklidesowej. Wówczas każdy ze zbiorów $U_{n}$ jest również jest gęsty w $\mathbb {R}$ w zwykłej topologii euklidesowej. Ponieważ $\mathbb {R}$ z topologią euklidesową jest przestrzenią Baire’a, część wspólna wszystkich zbiorów $U_{n}$ jest niepusta. W szczególności, część wspólna wszystkich zbiorów $V_{n}$ jest niepusta, co kończy dowód. □

• Prosta Sorgenfreya jest Lindelöfa, parazwarta, ale nie jest lokalnie zwarta ani σ-zwarta.

• Nie istnieje spójne uzwarcenie prostej Sorgenfreya.

Bibliografia

• Ryszard Engelking: Topologia ogólna. Wyd. pierwsze. Warszawa: PWN, 1976. Brak numerów stron w książce
• Arthur Steen Lynn, J. Arthur Seebach: Counterexamples in Topology. New York: Springer-Verlag, 1978, s. 75–76.