Przestrzeń regularna

Przestrzeń regularna i przestrzeń $T_{3}$ to terminy w topologii odnoszące się do tej samej lub bardzo pokrewnych własności oddzielania.

Definicje

Powiemy, że w przestrzeni topologicznej $X$ punkty mogą być oddzielane od zbiorów domkniętych przez zbiory otwarte jeśli

dla każdego zbioru domkniętego $F\subseteq X$ i dowolnego punktu $x\in X\setminus F$ można znaleźć rozłączne zbiory otwarte $U,V\subseteq X$ takie że $x\in U$ i $F\subseteq V{:}$

Czasami w sytuacji jak przedstawiona na rysunku powyżej mówi się, że punkt $x$ i zbiór domknięty $F$ są rozdzielone przez otoczenia otwarte $U,V$.

Przestrzeń topologiczna $X$ jest przestrzenią regularną wtedy i tylko wtedy, gdy $X$ jest przestrzenią T₁ w której punkty mogą być oddzielane od zbiorów domkniętych przez zbiory otwarte.

Dyskusja nazewnictwa

Istnieją pewne niekonsekwencje w użyciu terminów przestrzeń regularna i przestrzeń $T_{3}$ w literaturze. Na przykład Kuratowski w swojej monografii definiuje

• przestrzeń regularną jako przestrzeń topologiczną w której punkty mogą być oddzielane od zbiorów domkniętych przez zbiory otwarte, oraz
• przestrzeń $T_{3}$ jako przestrzeń regularną która jest także przestrzenią T₁.

Z drugiej strony Engelking definiuje

• bycie przestrzenią $T_{3}$ i bycie przestrzenią regularną jako tę samą własność (pokrywającą się z naszym znaczeniem przestrzeni regularnej).

Z powodu tych i podobnych rozbieżności, czytelnik literatury topologicznej powinien zawsze upewnić się co do znaczenia terminów stosowanych w danym artykule czy też książce. Wydaje się jednak że terminologia stosowana przez Engelkinga jest najbardziej popularna i my także będziemy się jej trzymać.

Przykłady

• Większość naturalnych przykładów przestrzeni topologicznych jest $T_{3}.$ W szczególności przykładami takich przestrzeni są: przestrzeń liczb rzeczywistych z naturalną topologią, przestrzenie euklidesowe i ogólniej przestrzenie metryczne.
• Każda przestrzeń Tichonowa jest przestrzenią regularną, ale istnieją przestrzenie regularne które nie są $T_{3{\frac {1}{2}}}.$ Na przykład rozważmy podzbiór $M=:\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:y\geqslant 0\}\cup \{(0,-1)\}$ płaszczyzny z kartezjańskim układem współrzędnych. Na zbiorze $M$ wprowadzamy topologię $\tau$ przez określenie bazy otoczeń ${\mathcal {B}}(x,y)$ w każdym punkcie $(x,y)\in M{:}$
  • jeśli $y>0,$ to ${\mathcal {B}}(x,y)=\{\{(x,y)\}\},$
  • jeśli $y=0,$ to ${\mathcal {B}}(x,y)$ składa się ze wszystkich zbiorów postaci $\{(x,v)\in \mathbb {R} ^{2}:0\leqslant v\leqslant 2\ \}\cup \{(x+v,v)\in \mathbb {R} ^{2}:0\leqslant v\leqslant 2\}\setminus B,$ gdzie $B$ jest zbiorem skończonym,
  • ${\mathcal {B}}(0,-1)=\{U_{i}:i=1,2,3,\dots \},$ gdzie $U_{i}=\{(0,-1)\}\cup \{(u,v)\in \mathbb {R} ^{2}:i\leqslant u\}.$

Wtedy $(M,\tau )$ jest przestrzenią regularną, ale nie jest przestrzenią Tichonowa.

• Istnieją przestrzenie $T_{2}$ które nie są $T_{3}.$ Rozważmy na przykład zbiór $X=[0,1]$ z topologią $\tau$ otrzymaną przez rozszerzenie naturalnej topologii na $[0,1]$ o zbiór $[0,1]\setminus \{{\tfrac {1}{n}}:n=2,3,4\ldots \}.$ Wtedy $(X,\tau )$ jest przestrzenią Hausdorffa, która nie jest regularna.

Własności

• Przestrzeń topologiczna $X$ spełniająca warunek $T_{1}$ jest przestrzenią regularną wtedy i tylko wtedy, gdy

dla każdego punktu $x\in X$ i jego otoczenia otwartego $V$ (tak więc $x\in V\subseteq X$) istnieje otoczenie $U$ punktu $x$ którego domknięcie jest zawarte w $V$ (tzn. $x\in U\subseteq \mathrm {cl} (U)\subseteq V$).

• Każda regularna przestrzeń topologiczna $X$ która jest przeliczalna lub spełnia drugi aksjomat przeliczalności jest także przestrzenią normalną.
• Podzbiór przestrzeni $T_{3}$ traktowany jako przestrzeń topologiczna jest znów przestrzenią $T_{3}.$ Własność być przestrzenią $T_{3}$ jest więc własnością dziedziczną.
• Iloczyn kartezjański (z topologią Tichonowa) przestrzeni $T_{3}$ jest przestrzenią $T_{3}.$

Zobacz też

• aksjomaty oddzielania
• przestrzeń Hausdorffa $(T_{2})$
• przestrzeń Tichonowa $(T_{3{\frac {1}{2}}})$