Zbiór rozdzielający

Zbiór rozdzielający – zbiór $S$ funkcji $A\to B,$ w którym dla dowolnych dwóch elementów $x,y\in A$ istnieje funkcja $f\in S$ spełniająca $f(x)\neq f(y);$ mówi się też, że zbiór $S$ rozdziela punkty $B$ ^[1].

Zbiory rozdzielające ułatwiają sformułowanie wariantu twierdzenia Stone’a-Weierstrassa dla funkcji o wartościach rzeczywistych na zwartej przestrzeni Hausdorffa z topologią zbieżności jednostajnej: dowolna podalgebra tej przestrzeni funkcyjnej jest gęsta wtedy i tylko tedy, gdy rozdziela punkty; tę wersję twierdzenia dowiódł jako pierwszy Marshall Stone^[1].

Przykłady

Zbiór jednoelementowy składający się z funkcji tożsamościowej liczb rzeczywistych $\mathbb {R}$ rozdziela punkty $\mathbb {R} .$
Jeżeli $X$ jest przestrzenią normalną (tj. T₄ i T₁), to lemat Urysohna mówi, że zbiór ${\mathcal {C}}(X)$ funkcji ciągłych na $X$ o wartościach rzeczywistych (lub zespolonych) rozdziela punkty $X.$

Przypisy

↑ ^a ^b N.L. Carothers: Real Analysis. Cambridge University Press, 2000, s. 201–204. ISBN 978-1-139-64316-0. (ang.).

[carothers-1] N.L. Carothers: Real Analysis. Cambridge University Press, 2000, s. 201–204. ISBN 978-1-139-64316-0. (ang.).

[1]