Zbiór jednoelementowy

Zbiór jednoelementowy, zbiór jednostkowy, singleton – zbiór, do którego należy dokładnie jeden element. Zbiór, którego jedynym elementem jest $x,$ oznacza się zwykle $\{x\};$ można go scharakteryzować w następujący sposób:

$a\in \{x\}\ \Leftrightarrow a=x$.

Własności

Zbiory jednoelementowe mają następujące kluczowe własności:

$\{a\}\cap \{b\}=\varnothing \Leftrightarrow a\neq b\Leftrightarrow \{a\}\neq \{b\},$

powyższe równoważności można także zapisać jako:

$\{a\}\cap \{b\}\neq \varnothing \Leftrightarrow a=b\Leftrightarrow \{a\}=\{b\}.$

Ponadto każdy zbiór jest sumą zbiorów jednoelementowych zawierających jego elementy:

$A=\bigcup \limits _{x\in A}\{x\}.$

Zachodzi także:

$x\in X\Leftrightarrow \{x\}\subset X$.

Przykłady

Teoria mnogości

Elementem zbioru jednoelementowego może być dowolny obiekt – również inny zbiór. Zbiór jednoelementowy jest zawsze czymś innym niż element, który zawiera:

• Zbiór $\mathbb {N}$ zawiera wszystkie liczby naturalne, a $\{\mathbb {N} \}$ to zbiór, którego jedynym elementem jest zbiór liczb naturalnych.
• Podobnie $\varnothing$ jest zbiorem pustym, tzn. nie zawierającym żadnego elementu: $\forall x\colon x\not \in \varnothing ,$ natomiast zbiór $\{\varnothing \}$ jest zbiorem jednoelementowym, którego jedyny element jest zbiorem pustym. W szczególności $\{\varnothing \}\neq \varnothing .$ Podobnie ${\big \{}\{\varnothing \}{\big \}}\neq \varnothing$ oraz ${\big \{}\{\varnothing \}{\big \}}\neq \{\varnothing \}.$ Obserwacja ta umożliwia „tworzenie czegoś z niczego” (łac. creatio ex nihilo), tzn. ze zbioru pustego. Wychodząc z podobnych idei John von Neumann zbudował swoją teorię liczb naturalnych.

Zbiór ${\mathcal {P}}(X)$ wszystkich podzbiorów (tzw. zbiór potęgowy) zbioru $X$ jest sumą zbiorów jednoelementowych będących podzbiorami zbioru $X{:}$

${\mathcal {P}}(X)=\bigcup _{Y\subset X}\{Y\},$

co można także zapisać w postaci

$Y\in {\mathcal {P}}(X)\Leftrightarrow Y\subset X$

Zbiór jednoelementowy występuje w sformułowaniu aksjomatu nieskończoności w aksjomatyce Zermela-Fraenkla teorii mnogości; ponadto pełni on ważną rolę w definicji Kazimierza Kuratowskiego pary uporządkowanej:

$\langle a,b\rangle ={\big \{}\{a\},\{a,b\}{\big \}}$.

Topologia

W każdym zbiorze jednoelementowym można zdefiniować topologię, w której każdy podzbiór jest otwarty – rodzina zbiorów otwartych jest wtedy dwuelementowa i zawiera zbiór pusty oraz cały zbiór jednoelementowy. Tak zdefiniowana przestrzeń topologiczna jest jednocześnie dyskretna (wszystkie podzbiory są otwarte) i antydyskretna (tylko niezbędne podzbiory są otwarte). Jest także przestrzenią T₁, bo jedyny podzbiór jednoelementowy jest domknięty. Jest wreszcie w sposób trywialny przestrzenią T₀.

Teoria kategorii

W niektórych kategoriach, na przykład w kategorii zbiorów $\mathbf {Set} ,$ obiekty końcowe są zbiorami jednoelementowymi.