Twierdzenie Tichonowa

Twierdzenie Tichonowa – twierdzenie mówiące, że produkt dowolnej rodziny zwartych przestrzeni topologicznych jest zwarty. Nosi ono nazwisko Andrieja Tichonowa, który udowodnił je jako pierwszy w 1930 roku dla potęg domkniętego przedziału jednostkowego, a w 1935 roku przedstawił pełny dowód z uwagą, iż nie różni się on od przypadku szczególnego. Najstarsze opublikowane wystąpienie dowodu znajduje się w pracy Eduarda Čecha z 1937 roku.

Kilka źródeł wskazuje niepodzielnie twierdzenie Tichonowa jako najistotniejszy wynik topologii ogólnej [np. Willard, s. 120]; inni każą mu dzielić ten zaszczyt z lematem Urysohna.

Definicja

Twierdzenie istotnie zależy od dokładnej definicji zwartości i topologii produktowej; w gruncie rzeczy, praca Tichonowa z 1935 roku zawiera pierwszą definicję topologii produktowej. Odwrotnie, jego doniosłość daje pewność, że te właśnie definicje są prawidłowe (tzn. najbardziej użyteczne).

Rzeczywiście, definicja Heinego-Borela zwartości – iż każde pokrycie przestrzeni zbiorami otwartymi ma skończone podpokrycie – jest dość nowa. W XIX i początkach XX wieku popularniejsze było kryterium Bolzana-Weierstrassa mówiące, iż każdy ciąg zawiera podciąg zbieżny, teraz nazywane ciągową zwartością. Warunki te są równoważne w przestrzeniach metryzowalnych, ale żaden nie wynika z drugiego w innych klasach przestrzeni topologicznych.

Łatwo dowieść, że produkt dwóch przestrzeni ciągowo zwartych jest ciągowo zwarty – przechodzi się do podciągu w pierwszym czynniku, a następnie do pod-podciągu w drugim z nich. Tylko nieco trudniejszy argument „przekątniowy” daje ciągową zwartość przeliczalnego produktu przestrzeni ciągowo zwartych. Jednakże produkt continuum wielu egzemplarzy domkniętego przedziału jednostkowego nie jest ciągowo zwarty.

Jest tak, gdyż jeśli $X$ jest całkowicie regularną przestrzenią Hausdorffa, to istnieje naturalne włożenie $X$ w $[0,1]^{\operatorname {C} (X,[0,1])},$ gdzie $\operatorname {C} {\big (}X,[0,1]{\big )}$ jest zbiorem wszystkich przekształceń ciągłych z $X$ w odcinek $[0,1].$ Zwartość $[0,1]^{\operatorname {C} (X,[0,1])}$ oznacza, że każda całkowicie regularna przestrzeń Hausdorffa może być zanurzona w zwartej przestrzeni Hausdorffa (lub też może być „uzwarcona”). Konstrukcja ta nie jest niczym innym jak tylko uzwarcenie Stone’a-Čecha. Odwrotnie, wszystkie podprzestrzenie zwartych przestrzeni Hausdorffa są całkowicie regularne i Hausdorffa, a więc wynika stąd charakteryzacja całkowicie regularnych przestrzeni Hausdorffa jako tych, które mogą być uzwarcone. Takie przestrzenie nazywa się dziś przestrzeniami Tichonowa.

Zastosowania

Twierdzenie Tichonowa wykorzystuje się także podczas dowodu twierdzenia Banacha-Alaoglu i może być wykorzystane do dowiedzenia twierdzenia Arzeli-Ascolego. Z reguły dowolna konstrukcja, która zaczynając od dość ogólnego obiektu (często natury algebraicznej bądź algebraiczno-topologicznej) daje w wyniku przestrzeń zwartą, korzysta zwykle z twierdzenia Tichonowa: np. przestrzeń Gelfanda ideałów maksymalnych przemiennej C*-algebry, przestrzeń Stone’a ideałów maksymalnych algebry Boole’a, widmo Berkovitcha przemiennego pierścienia Banacha.

Dowody

Dowód Tichonowa z 1930 roku korzystał z pojęcia zupełnego punktu skupienia.
Twierdzenie jest bezpośrednim wnioskiem z twierdzenia Alexandra o podbazie.

Nowocześniejsze dowody rozważa się z następujących powodów: podejście do zwartości poprzez zbieżność podciągów prowadzi do prostego i przejrzystego dowodu w przypadku przeliczalnych zbiorów indeksujących. Mimo to podejście ciągowe do zbieżności w przestrzeniach topologicznych jest zadowalające, gdy przestrzeń spełnia pierwszy aksjomat przeliczalności (jak to jest dla przestrzeni metryzowalnych), lecz w ogólności nie na odwót. Jednakże iloczyn przeliczlanie wielu przestrzeni metryzowalnych, z których każda jest przynajmniej dwupunktowa, nie spełnia pierwszego aksjomatu przeliczalności. Tak więc naturalnym jest oczekiwanie, by odpowiednie pojęcie zbieżności w dowolnych przestrzeniach prowadziło do kryterium zbieżności, które uogólniałoby ciągową zwartość w przestrzeniach metryzowalnych i pozwalało łatwo określić zwartość iloczynów. To właśnie okazało się być kluczem.

Teoria zbieżności poprzez filtry zapoczątkowana przez Henriego Cartana i rozwinięta przez Bourbakiego w 1937 roku prowadzi do następującego kryterium: zakładając lemat o ultrafiltrze przestrzeń jest zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy każdy ultrafiltr na przestrzeni jest zbieżny. Mając je do dyspozycji dowód staje się prosty: (filtr generowany przez) obraz ultrafiltry na przestrzeni produktowej w dowolnym przekształceniu rzutowym jest ultrafiltrem na przestrzeni ilorazowej, który zatem zbiega do przynajmniej jednego $x_{i}.$ Następnie pokazuje się, że ultrafiltr wyjściowy zbiego do $x=(x_{i}).$

Munkres w swojej pozycji przedstawia dowód Cartana-Bourbakiego nie korzystając bezpośrednio z języka teorii filtrów.

Podobnie teoria Moore’a-Smitha zbieżności poprzez ciągi uogólnione uzupełniona przez pojęcie uniwersalny ciąg uogólniony autorstwa Kelleya, która prowadzi do kryterium mówiącego, iż przestrzeń jest zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy dowolny uniwersalny ciąg uogólniony danej przestrzeni jest zbieżny. Kryterium to prowadzi do dowodu (Kelley, 1950) twierdzenia Tichonowa, które jest identyczne słowo w słowo z dowodem Cartana/Bourbakiego wykorzystującym filtry z wyjątkiem zmiany wyrażenia „uniwersalny ciąg uogólniony” na „baza ultrafiltra”.
Dowód wykorzystujący nieuniwersalne ciągi uogólnione został podany w 1992 roku przez Paula Chernoffa.

Związek z aksjomatem wyboru

Wszystkie z powyższych dowodów korzystają w pewien sposób z aksjomatu wyboru (AC). Przykładowo trzeci wykorzystuje fakt, iż każdy filtr jest zawarty w ultrafiltrze (tzn. filtrze maksymalnym), co dzieje się za sprawą lematu Kuratowskiego-Zorna. Z lematu Kuratowskiego-Zorna korzysta się także podczas dowodu twierdzenia Kelleya, mówiącego że każdy ciąg uogólniony zawiera uniwersalny podciąg uogólniony. Istotnie, użycia te są kluczoweL w 1950 roku Kelley wykazał, że twierdzenie Tichonowa pociąga za sobą aksjomat wyboru. Jednym ze sformułowań AC jest, że produkt kartezjański rodziny niepustych zbiorów jest niepusty; ponieważ zbiór pusty jest z całą pewnością zwarty, to dowód nie może przejść obok tego typu stwierdzeń. W ten sposób twierdzenie Tichonowa łączy ze sobą kilka innych podstawowych twierdzeń (np. że każda niezerowa przestrzeń liniowa ma bazę) jako równoważnych AC.

Z drugiej strony twierdzenie, że dowolny filtr zawiera się w pewnym ultrafiltrze nie pociąga AC. Istotnie, łatwo zauważyć, że jest to równoważne twierdzeniu o ideale pierwszym (BPIT), znanym punktem pośrednim między aksjomatami teorii mnogości Zermela-Fraenkla (ZF) i teorii ZF powiększonej o aksjomat wyboru (ZFC). Początkowo może się zdawać, że drugi dowód twierdzenia Tichonowa nie korzysta się z niczego więcej niż BPIT, co przeczy powyższemu. Jednakże przestrzenie, w których każdy filtr zbieżny ma jednoznacznie wyznaczoną granicę to dokładnie przestrzenie Hausdorffa. W ogólności należy dla każdego elementu zbioru indeksującego wybrać element z niepustego zbioru granic rzutowanej bazy ultrafiltra, a to oczywiście stanowi użycie AC. Pokazuje to także, że zwartość iloczynu zwartych przestrzeni Hausdorffa może być wykazana za pomocą BPIT, a w rzeczywistości prawdziwe jest stwierdzenie odwrotne. Badaniem siły twierdzenia Tichonowa dla różnych ograniczonych klas przestrzeni zajmuje się topologia teoriomnogościowa.

Dowód aksjomatu wyboru

Aksjomat wyboru mówi, że dla danych zbiorów $A_{i}$ dla $i\in I,$ iloczyn $A=\prod A_{i}$ jest niepusty. Dla tak zadanych zbiorów można wybrać pewien $x$ nienależący do $\bigcup A_{i}$ (np. może to być zbiór potęgowy tej sumy). Następnie niech $B_{i}:=A_{i}\cup \{x\}$ dla $i\in I$ będą wyposażone w topologię ${\big \{}B_{i},A_{i},\{x\},\varnothing {\big \}};$ ponadto niech $B:=\prod B_{i}$ ma topologię produktową. Każdy zbiór $B_{i}$ jest zwarty, a więc z twierdzenia Tichonowa $B$ również jest zwarty.

Niech teraz $U_{j}:=\{b\in B\colon b_{j}=x\}$ dla $j\in I.$ Ponieważ $U_{j}$ jest przeciwobrazem $\{x\}$ rzutu na $j$ -tą współrzędną, to jest on otwarty dla każdego $j\in I.$ Dla dowolnych różnych $j_{1},\dots ,j_{n}$ zbiór $U_{j_{1}}\cup \dots \cup U_{j_{n}}=\{b\in B\colon b_{j_{k}}=x{\text{ dla pewnego }}1\leqslant k\leqslant n\}$ nie pokrywa $B{:}$ istotnie, wybrawszy dla $1\leqslant k\leqslant n$ element $a_{j_{k}}$ ze zbioru $A_{j_{k}},$ a następnie przyjęciu $b_{j}:=a_{j_{k}}$ o ile $j=j_{k}$ oraz $b_{j}=x$ w przeciwnym przypadku otrzymuje się, iż $b$ nie należy do $U_{j_{1}}\cup \dots U_{j_{n}}$ (można wykonać skończenie wiele wyborów bez aksjomatu wyboru). W ten sposób $U_{j}$ nie ma skończonego podpokrycia, a więc ze zwartości nie mogą one pokrywać $B.$ Istnieje zatem $a\in B$ taki, że $a_{i}\in A_{i}$ dla każdego $i,$ tj. $a\in A,$ co oznacza, że $A$ nie jest pusty, jak wymagano.

Bibliografia

Paul N. Chernoff. A simple proof of Tychonoff’s theorem via nets. „American Mathematical Monthly”. 99 (10), s. 932–934, 1992. DOI: 10.2307/2324485.
Peter T. Johnstone: Stone spaces. T. 3. New York: Cambridge University Press, 1982, seria: Cambridge Studies in Advanced Mathematics. ISBN 0-521-23893-5.
Peter T. Johnstone. Tychonoff’s theorem without the axiom of choice. „Fundamenta Mathematicae”. 113, s. 21–35, 1981.
John L. Kelley. Convergence in topology. „Duke Mathematics Journal”. 17 (3), s. 277–283, 1950. DOI: 10.1215/S0012-7094-50-01726-1.
John L. Kelley. The Tychonoff product theorem implies the axiom of choice. „Fundamenta Mathematicae”. 37, s. 75–76, 1950.
James Munkres: Topology. Wyd. II. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, 2000. ISBN 0-13-181629-2.
Andrey N. Tychonoff: Über die topologische Erweiterung von Räumen. Wyd. 1. T. 102. Mathematische Annalen, 1930, s. 544–561. DOI: 10.1007/BF01782364. (niem.).
Stephen Willard: General Topology. Mineola, NY: Dover Publications, 2004. ISBN 0-486-43479-6.