Twierdzenie Riesza (przestrzenie Hilberta)

Twierdzenie Riesza – twierdzenie analizy funkcjonalnej noszące nazwisko Frigyesa Riesza, które opisuje strukturę przestrzeni sprzężonej topologicznie do danej przestrzeni Hilberta w daleko bardziej satysfakcjonujący sposób niż ogólniejsze twierdzenie Hahna-Banacha (obowiązujące dla przestrzeni Banacha). Wśród jego nazw spotyka się oprócz nazwiska Riesza również nazwisko Maurice’a Frécheta oraz nazwy opisowe np. „o reprezentacji (funkcjonału)”, czasami również z zastrzeżeniem „w przestrzeniach Hilberta”.

Stanowi ono odwrócenie następującej obserwacji, iż dla dowolnie wybranego elementu $y$ ustalonej przestrzeni Hilberta odwzorowanie dane wzorem $x\mapsto \langle x,y\rangle$ jest (ciągłym) funkcjonałem liniowym, tj. każdy funkcjonał liniowy można przedstawić w tej postaci. Ponadto zapewnia ono o równoważności struktur unitarnych (m.in. izomorficzności jako przestrzeni liniowych oraz izometryczności jako przestrzeni unormowanych; zob. przekształcenie unitarne) przestrzeni Hilberta oraz przestrzeni sprzężonej do niej.

Twierdzenie

Niech $H$ będzie przestrzenią Hilberta z iloczynem skalarnym $\langle \cdot ,\cdot \rangle ,$ zaś $H^{*}$ będzie przestrzenią sprzężoną do $H.$ Wówczas dla każdego funkcjonału liniowego $y^{*}\in H^{*}$ istnieje jeden i tylko jeden element $y\in H$ spełniający dla wszystkich $x\in H$ tożsamość

$y^{*}(x)=\langle x,y\rangle .$

Ponadto odwzorowanie $H\to H^{*}$ dane wzorem $y\mapsto y^{*}$ jest wzajemnie jednoznacznym przekształceniem antyliniowym zachowującym normę; jeśli $H$ określona jest nad ciałem liczb rzeczywistych (a nie liczb zespolonych), to wspomniane odwzorowanie jest przekształceniem liniowym zachowującym normę (tzn. jest izometrią liniową, a nie antyliniową).

Dowód

W dalszej części $\emptyset$ oznaczać będzie funkcjonał zerowy, czyli dany wzorem $\emptyset (x)=0$ dla każdego $x\in H.$

Jeżeli $H$ jest skończonego wymiaru, to istnienie odpowiedniego $y\in H$ dla $y^{*}\in H^{*}$ wynika z jednoznaczności, gdyż iniektywne przekształcenie $(\cdot )^{*}\colon H\to H^{*}$ dane wzorem $y\mapsto y^{*}=\langle \cdot ,y\rangle$ jest wtedy suriekcją, a zatem jest izomorfizmem liniowym w przypadku rzeczywistym (zob. dowód) i antyliniowym w przypadku zespolonym (zob. Antyliniowość niżej); w przeciwnym przypadku dla ogólnej przestrzeni liniowej $V$ jest $\dim V<\dim V^{*},$ ograniczenie przestrzeni sprzężonej do ciągłych funkcjonałów liniowych sprawia jednak, że $\dim H=\dim H^{*}$ na podstawie izomorfizmu $(\cdot )^{*}$ skonstruowanego niżej.

Istnienie

Dla $y^{*}=\emptyset$ wystarczy wziąć $y=0$ i wtedy $y^{*}(x)=\langle x,0\rangle =0$ dla każdego $x\in H;$ niech więc $y^{*}\neq \emptyset ,$ wtedy $\ker y^{*}$ jest właściwą podprzestrzenią $H.$ Ponieważ $y^{*}$ jest ciągły, to zbiór $\ker y^{*}$ jest domknięty. Z twierdzenia o rzucie ortogonalnym wynika, że

$H=\ker y^{*}\oplus (\ker y^{*})^{\perp },$

a skoro $\ker y^{*}\neq H,$ to $(\ker y^{*})^{\perp }\neq \{0\},$ a zatem można znaleźć taki element $z\in (\ker y^{*})^{\perp },$ dla którego $\|z\|=1.$ Ponieważ $z\in (\ker y^{*})^{\perp },$ to dla każdego $x\in H$ zachodzi

$y^{*}(x)\ z-y^{*}(z)\ x\in \ker y^{*},$

gdyż na mocy liniowości funkcjonału $y^{*}{\big (}y^{*}(x)\ z-y^{*}(z)\ x{\big )}=y^{*}(x)y^{*}(z)-y^{*}(z)y^{*}(x)=0;$ dlatego

$0={\big \langle }y^{*}(x)\ z-y^{*}(z)\ x,z{\big \rangle }=y^{*}(x)\langle z,z\rangle -y^{*}(z)\langle x,z\rangle =y^{*}(x)-y^{*}(z)\langle x,z\rangle$

a stąd

$y^{*}(x)=\left\langle x,{\overline {y^{*}(z)}}\ z\right\rangle ;$

aby teza twierdzenia była spełniona, wystarczy przyjąć $y={\overline {y^{*}(z)}}\ z,$ gdzie ${\overline {w}}$ oznacza sprzężenie zespolone skalara $w.$

Jednoznaczność

Niech $y_{1},y_{2}\in H$ będą dwoma elementami, które dla każdego $x\in H$ spełniają

$y^{*}(x)=\langle x,y_{1}\rangle =\langle x,y_{2}\rangle ;$

wówczas, z liniowości, $\langle x,y_{1}-y_{2}\rangle =0$ dla każdego $x\in H,$ biorąc $x=y_{1}-y_{2}$ otrzymuje się $\|x\|=\|y_{1}-y_{2}\|=0,$ co ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy $y_{1}-y_{2}=0,$ czyli $y_{1}=y_{2}.$

Izometryczność

Iloczyn skalarny jest ciągły ze względu na pierwszą zmienną; zatem funkcjonał liniowy dany wzorem $y^{*}(x)=\langle x,y\rangle$ jest ciągły, a zatem ograniczony (z charakteryzacji ograniczonych operatorów liniowych). Z nierówności Cauchy’ego-Schwarza wynika wtedy, że

${\big \|}y^{*}(x){\big \|}={\big \|}\langle x,y\rangle {\big \|}\leqslant \|x\|\|y\|,$

a więc

${\big \|}y^{*}{\big \|}=\sup _{\|x\|=1}\;{\big \|}y^{*}(x){\big \|}\leqslant \|y\|.$

Jeżeli $y=0,$ to $\|y^{*}\|=0,$ czyli $y^{*}=\emptyset ;$ w przeciwnym przypadku dla $z={\frac {y}{\|y\|}}$ otrzymuje się

${\big \|}y^{*}(z){\big \|}={\Big \|}\left\langle {\tfrac {y}{\|y\|}},y\right\rangle {\Big \|}={\frac {1}{\|y\|}}\langle y,y\rangle ={\frac {\|y\|^{2}}{\|y\|}}=\|y\|,$

co daje $\|y^{*}\|=\|y\|.$

Antyliniowość

Antyliniowość odwzorowania $(\cdot )^{*}\colon H\to H^{*}$ wynika wprost z własności iloczynu skalarnego, który jest antyliniowy ze względu na drugą współrzędną:

$(cy_{1}+dy_{2})^{*}(x)=\langle x,cy_{1}+dy_{2}\rangle ={\overline {c}}\langle x,y_{1}\rangle +{\overline {d}}\langle x,y_{2}\rangle ={\overline {c}}\ y_{1}^{*}(x)+{\overline {d}}\ y_{2}^{*}(x).$

Jeżeli $H$ jest rzeczywista, to iloczyn skalarny jest dwuliniowy, a nie półtoraliniowy; w tym przypadku wystarczy w powyższych równościach pominąć sprzężenie zespolone (oznaczane kreską nad elementem).

Zobacz też

• twierdzenie o rzucie ortogonalnym