Przestrzeń T0

Przestrzeń $T_{0}$ – termin w topologii opisujący najsłabszy z aksjomatów oddzielania. Przestrzenie $T_{0}$ są też nazywane przestrzeniami Kołmogorowa, jako że zostały wprowadzone przez rosyjskiego matematyka Andrieja Kołmogorowa.

Definicja

Mówimy, że przestrzeń topologiczna $X$ jest $T_{0},$ jeśli dla dowolnych dwóch różnych punktów $x,y\in X$ istnieje zbiór otwarty w $X,$ który zawiera dokładnie jeden z tych punktów.

Równoważne sformułowanie powyższej definicji jest takie, że przestrzeń $X$ jest przestrzenią $T_{0}$ wtedy i tylko wtedy, gdy różne jednopunktowe podzbiory $X$ mają różne domknięcia.

Przykłady i własności

Większość naturalnych przykładów przestrzeni topologicznych jest przestrzeniami Kołmogorowa. W szczególności przykładami takich przestrzeni są: przestrzeń liczb rzeczywistych z naturalną topologią, przestrzenie euklidesowe i ogólniej przestrzenie metryczne.
Każda przestrzeń przestrzeń T₁ jest przestrzenią $T_{0}.$
Istnieją przestrzenie $T_{0},$ które nie są $T_{1}$ ^[1] – np. przestrzeń Sierpińskiego lub topologia krojących się przedziałów^[2]. Rozważmy na przykład dwupunktową przestrzeń $X=\{a,b\}$ z topologią $\tau _{0}={\big \{}\emptyset ,X,\{a\}{\big \}}.$ Jest to przestrzeń $T_{0},$ ale nie $T_{1}.$
Niech $X=\{a,b\}$ będzie wyposażone w topologię antydyskretną $\tau _{1}={\big \{}\emptyset ,X{\big \}}.$ Jest to przestrzeń topologiczna, która nie jest $T_{0}.$
Przestrzeń $Y=(0,1)\cup (1,2),$ w której za zbiory otwarte uznamy $Y,\emptyset ,$ $(0,1)$ i $(1,2),$ także nie jest przestrzenią $T_{0}.$
Podzbiór przestrzeni $T_{0}$ traktowany jako przestrzeń topologiczna jest znów przestrzenią $T_{0}.$ Własność być przestrzenią $T_{0}$ jest więc własnością dziedziczną.
Iloczyn kartezjański (z topologią Tichonowa) przestrzeni $T_{0}$ jest przestrzenią $T_{0}.$

Zobacz też

Przypisy

↑ 4.1 Przestrzenie Ti dla i [<=] 2, [w:] StefanS. Jackowski StefanS., Materiały dydaktyczne – Topologia I*. Pomocnik studenta. (2017Z), www.mimuw.edu.pl, 2018, s. 25 [dostęp 2023-03-23] .
↑ 2.5 Aksjomaty oddzielania, [w:] BartłomiejB. Skowron BartłomiejB., Część i całość. W stronę topoontologii, Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, 2021, s. 42, ISBN 978-83-8156-279-9 [dostęp 2023-03-23] (pol.).

Bibliografia

Engelking Ryszard: Topologia Ogólna, PWN, Warszawa 2007, ISBN 3-88538-006-4, strona 51.
IX. [T0]-spaces, [w:] KazimierzK. Kuratowski KazimierzK., Topology, t. I, PWN, 1966, s. 51, ISBN 978-1-4832-7256-6 [dostęp 2023-03-23] (ang.).

[1] 4.1 Przestrzenie Ti dla i [<=] 2, [w:] StefanS. Jackowski StefanS., Materiały dydaktyczne – Topologia I*. Pomocnik studenta. (2017Z), www.mimuw.edu.pl, 2018, s. 25 [dostęp 2023-03-23] .

[2] 2.5 Aksjomaty oddzielania, [w:] BartłomiejB. Skowron BartłomiejB., Część i całość. W stronę topoontologii, Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, 2021, s. 42, ISBN 978-83-8156-279-9 [dostęp 2023-03-23] (pol.).

[1]

[2]