Rozkład Cauchy’ego

Rozkład Cauchy’ego (zwany również w optyce rozkładem Lorentza, a w fizyce jądrowej rozkładem Breita-Wignera) to rozkład prawdopodobieństwa typu ciągłego.

• Momenty zwykłe i centralne (czyli m.in. wartość oczekiwana i wariancja) rozkładu są niezdefiniowane – odpowiednie całki rozbiegają się do nieskończoności. Oznacza to też m.in., że nie można zdefiniować kurtozy i skośności.
• Jeśli niezależne zmienne losowe X i Y mają standardowy rozkład normalny, to zmienna X/Y ma rozkład Cauchy’ego z parametrami x₀ = 0 i γ = 1

Rozkład Cauchy’ego-Lorentza

Gęstość prawdopodobieństwa Zielona linia opisuje standardowy rozkład Cauchy’ego
Dystrybuanta Kolory odpowiadają wykresowi powyżej
Parametry	$x_{0}$ – położenie (liczba rzeczywista) $\gamma >0$ – skala (liczba rzeczywista)
Nośnik	$x\in (-\infty ;+\infty )$
Gęstość prawdopodobieństwa	${\frac {1}{\pi \gamma \,\left[1+\left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)^{2}\right]}}$
Dystrybuanta	${\frac {1}{\pi }}\operatorname {arctg} \left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)+{\frac {1}{2}}$
Wartość oczekiwana (średnia)	nieokreślona
Mediana	$x_{0}$
Moda	$x_{0}$
Wariancja	nieokreślona
Współczynnik skośności	nieokreślona
Kurtoza	nieokreślona
Entropia	$\ln \ 4\pi \gamma$
Funkcja tworząca momenty	nieokreślona
Funkcja charakterystyczna	$e^{x_{0}\,i\,t-\gamma \,|t|}$
Odkrywca	Augustin Louis Cauchy

Zobacz też

• rozkład zmiennej losowej
• przegląd zagadnień z zakresu statystyki

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Cauchy Distribution, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2023-08-30].
• Cauchy distribution (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-08-30].