Funkcja tworząca momenty

Funkcja tworząca (generująca) momenty zmiennej losowej $X$ jest zdefiniowana wzorem

$M_{X}(t)={\mathsf {E}}(e^{tX}).$

Używając teorii związanej z funkcją tworzącą momenty, wyprowadza się wiele oszacowań w rachunku prawdopodobieństwa. Klasyczną nierównością, w której występuje funkcja tworząca momenty, jest nierówność Chernoffa.

Funkcja $R_{X}(t)=\ln(M_{X}(t))$ nazywana jest funkcją generującą kumulanty. Kumulanty zmiennej losowej $X$ to wielkości $\kappa _{n}$ spełniające własność:

$R_{X}(t)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\kappa _{n}t^{n}}{n!}}.$

Własności

Funkcji tworzącej momenty można użyć, by obliczyć dowolny moment zmiennej losowej. Gdy rozwiniemy funkcję tworzącą momenty w szereg Taylora, otrzymamy:

$M_{X}(t)=E(e^{tX})=1+tE[X]+{\frac {t^{2}E[X^{2}]}{2!}}+{\frac {t^{3}E[X^{3}]}{3!}}+\ldots$

Jeśli zróżniczkujemy całe wyrażenie $i$-krotnie po $t,$ i podstawimy $t=0,$ otrzymamy $i$-ty moment zmiennej losowej $X.$

Przykład: Załóżmy, że chcemy obliczyć wartość oczekiwaną (pierwszy moment) zmiennej losowej $X$ o rozkładzie Poissona z parametrem $\lambda .$ Funkcja generująca momenty dla rozkładu Poissona to

$M_{X}(t)=e^{\lambda (e^{t}-1)}.$

Gdy policzymy pierwszą pochodną po $t$ otrzymamy

$M_{X}'(t)=(e^{\lambda (e^{t}-1)})'=\lambda e^{\lambda (e^{t}-1)+t}.$

Teraz, gdy podstawimy $t=0$ otrzymamy:

$\lambda e^{\lambda (e^{t}-1)+t}=\lambda e^{\lambda (e^{0}-1)+0}=\lambda e^{\lambda (1-1)}=\lambda .$

Inna własność jest następująca: jeśli

$Y=\sum _{k=0}^{n}a_{k}X_{k},$

jest sumą $n$ niezależnych zmiennych losowych ($a$ to stałe), to funkcją generującą momenty dla $Y$ jest:

$M_{Y}=M_{X_{1}}(a_{1}t)M_{X_{2}}(a_{2}t)\dots M_{X_{n}}(a_{n}t).$

Zobacz też

• funkcja charakterystyczna (transformata Fouriera)
• funkcja tworząca momenty (transformata Laplace’a)
• funkcja tworząca prawdopodobieństwa (transformata Laurenta lub Z-transformata)
• kumulanta

Bibliografia

• Rafał Latała: Rachunek prawdopodobieństwa 3. maj 2007.