Iloczyn tensorowy przestrzeni Hilberta

Iloczyn tensorowy przestrzeni Hilberta ${\mathcal {H}}_{1}$ i ${\mathcal {H}}_{2}$ – przestrzeń Hilberta, utworzona z iloczynu tensorowego przestrzeni ${\mathcal {H}}_{1}$ i ${\mathcal {H}}_{2}$ traktowanych jako przestrzenie liniowe, z odpowiednio zdefiniowanym iloczynem skalarnym.

Definicja iloczynu tensorowego przestrzeni Hilberta

Iloczynem tensorowym ${\mathcal {H}}_{1}\otimes {\mathcal {H}}_{2}$ przestrzeni Hilberta ${\mathcal {H}}_{1}$ i ${\mathcal {H}}_{2}$ nazywa się przestrzeń Hilberta, taką że:

(1) bazę przestrzeni stanowi zbiór wektorów

$\{e_{1}\otimes e_{2}\colon \,\,e_{1}\in {\mathcal {E}}_{1},e_{2}\in {\mathcal {E}}_{2}\},$

gdzie:

${\mathcal {E}}_{1}$ i ${\mathcal {E}}_{2}$ – bazy ortonormalne odpowiednio w przestrzeni ${\mathcal {H}}_{1}$ i ${\mathcal {H}}_{2},$

$e_{1}\otimes e_{2}$ – Iloczyn Kroneckera wektorów baz $e_{1}$ i $e_{2}.$

(2) iloczyn skalarny w tej przestrzeni jest zdefiniowany następująco:

jeżeli ${\mathcal {H}}_{1}$ i ${\mathcal {H}}_{2}$ są przestrzeniami Hilberta z iloczynami skalarnymi, odpowiednio, $\langle \cdot |\cdot \rangle _{1}$ i $\langle \cdot |\cdot \rangle _{2},$ to iloczyn skalarny w przestrzeni ${\mathcal {H}}_{1}\otimes {\mathcal {H}}_{2}$ definiuje wzór

$\langle \phi _{1}\otimes \phi _{2}|\psi _{1}\otimes \psi _{2}\rangle =\langle \phi _{1}|\psi _{1}\rangle _{1}\,\langle \phi _{2}|\psi _{2}\rangle _{2},$

gdzie:

$\phi _{1},\psi _{1}\in {\mathcal {H}}_{1},\,\,\,\phi _{2},\psi _{2}\in {\mathcal {H}}_{2}.$

Ponieważ iloczyn tensorowy przestrzeni Hilberta oznacza się takim samym symbolem, jak iloczyn tensorowy przestrzeni liniowych $(\otimes )$ typ iloczynu wynika z kontekstu:

• przestrzenie liniowe, do których należą również przestrzenie Hilberta, mogą nie mieć zadanego iloczynu skalarnego; wówczas ich iloczyn tensorowy jest po prostu przestrzenią liniową, o bazie zadanej jak wyżej;
• iloczyn tensorowy przestrzeni Hilberta ma dodatkową strukturę, zadaną przez definicję iloczynu skalarnego; wówczas ich iloczyn tensorowy jest przestrzenią unitarną.

Własności

(1) Iloczyn tensorowy ${\mathcal {H}}_{1}\otimes {\mathcal {H}}_{2}$ jest przestrzenią Hilberta ${\mathcal {H}}$ o wymiarze równym iloczynowi wymiarów przestrzeni ${\mathcal {H}}_{1}$ i ${\mathcal {H}}_{2}.$

(2) W iloczynie tensorowym przestrzeni Hilberta występują wektory, których nie da się przedstawić w postaci iloczynu tensorowego wektorów składowych $\varphi _{1}(i)\otimes \phi _{2}(j),$ takich że $\phi _{1}(i)\in {\mathcal {H}}_{1}$ i $\phi _{2}(j)\in {\mathcal {H}}_{2},$ ale które są w ogólności dowolnymi kombinacjami liniowymi takich wektorów, tj. $\sum _{i,j}a_{ij}\,\varphi _{1}(i)\otimes \psi _{2}(j).$ Przykłady takich wektorów podano w Przykładzie 2.

Przykład 1: Iloczyn tensorowy przestrzeni 2-wymiarowych

Rozważmy dwie przestrzenie Hilberta (w przedstawionych przykładach do oznaczenia wektorów przestrzeni Hilberta użyto notacji Diraca):

${\mathcal {H}}_{1}$ z bazą $\{|0\rangle _{1},|1\rangle _{1}\},$

${\mathcal {H}}_{2}$ z bazą $\{|0\rangle _{2},|1\rangle _{2}\}.$

Iloczyn tensorowy ${\mathcal {H}}_{1}\otimes {\mathcal {H}}_{2}$ tych przestrzeni jest przestrzenią Hilberta ${\mathcal {H}}$ o wymiarze równym $4,$ przy czym bazę tworzą iloczyny tensorowe wektorów bazowych przestrzeni ${\mathcal {H}}_{1}$ przez wektory bazowe przestrzeni ${\mathcal {H}}_{2}{:}$

$\{|0\rangle _{1}\otimes |0\rangle _{2},|0\rangle _{1}\otimes |1\rangle _{2},|1\rangle _{1}\otimes |0\rangle _{2},|1\rangle _{1}\otimes |1\rangle _{2}\}.$

Jeżeli wektory bazy przedstawimy w bazie standardowej, jako ortonormalne kety

$|0\rangle _{1}={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}_{1},$ $|1\rangle _{1}={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}_{1}$

oraz

$|0\rangle _{2}={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}_{2},$ $|1\rangle _{2}={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}_{2}$

wówczas ich iloczyny tensorowe (iloczyny Kroneckera) to:

$|0\rangle _{1}\otimes |0\rangle _{2}={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}_{1}\otimes {\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}_{2}={\begin{bmatrix}1\cdot {\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}_{2}\\0\cdot {\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\0\\0\\0\end{bmatrix}},$

$|0\rangle _{1}\otimes |1\rangle _{2}={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}_{1}\otimes {\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}_{2}={\begin{bmatrix}1\cdot {\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}_{2}\\0\cdot {\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\1\\0\\0\end{bmatrix}},$

$|1\rangle _{1}\otimes |0\rangle _{2}={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}_{1}\otimes {\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}_{2}={\begin{bmatrix}0\cdot {\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}_{2}\\1\cdot {\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\\1\\0\end{bmatrix}},$

$|1\rangle _{1}\otimes |1\rangle _{2}={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}_{1}\otimes {\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}_{2}={\begin{bmatrix}0\cdot {\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}_{2}\\1\cdot {\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\\0\\1\end{bmatrix}}.$

Widać, że iloczyny tensorowe ketów $|0\rangle$ i $|1\rangle$ (tj. wektorów kolumnowych o 2 współrzędnych) tworzą kety o 4 współrzędnych. Powyższe wektory są unormowane do jedności i wzajemnie ortogonalne, dlatego tworzą bazę ortonormalną 4-wymiarowej przestrzeni Hilberta ${\mathcal {H}}_{1}\otimes {\mathcal {H}}_{2}.$ Iloczyny tensorowe wektorów bra bazy (reprezentowane przez wektory wierszowe) utworzyłyby oczywiście wektory bra o 4 współrzędnych. Gdyby natomiast wektory bazy przestrzeni ${\mathcal {H}}_{1}$ zapisać w postaci wektorów ket (kolumnowych), a wektory bazy przestrzeni ${\mathcal {H}}_{2}$ w postaci wektorów bra (wierszowych), to iloczyn tensorowy wektorów baz tworzących bazę przestrzeni ${\mathcal {H}}_{1}\otimes {\mathcal {H}}_{2}$ miałby postać macierzy 2 × 2. Jeżeli np. wektory bazy przedstawimy w bazie standardowej, jako kety:

$|0\rangle _{1}={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}_{1},$ $|1\rangle _{1}={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}_{1}$

oraz bra

$\langle 0|_{2}={\begin{bmatrix}1,0\end{bmatrix}}_{2},$ $\langle 1|_{2}={\begin{bmatrix}0,1\end{bmatrix}}_{2},$

wtedy otrzymamy iloczyny diadyczne (zwane również iloczynami zewnętrznymi):

$|0\rangle _{1}\otimes \langle 0|_{2}={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}_{1}\otimes {\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix}}_{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}},$

$|0\rangle _{1}\otimes \langle 1|_{2}={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}_{1}\otimes {\begin{bmatrix}0&1\end{bmatrix}}_{2}={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}},$

$|1\rangle _{1}\otimes \langle 0|_{2}={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}_{1}\otimes {\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix}}_{2}={\begin{bmatrix}0&0\\1&0\end{bmatrix}},$

$|1\rangle _{1}\otimes \langle 1|_{2}={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}_{1}\otimes {\begin{bmatrix}0&1\end{bmatrix}}_{2}={\begin{bmatrix}0&0\\0&1\end{bmatrix}}.$

Z powyższego widać, że możliwe są różne reprezentacje wektorów baz rozważanych przestrzeni.

Przykład 2: Stan splątany 2 cząstek

Załóżmy, że mamy dwie cząstki opisane stanami:

$|\psi \rangle _{1}=a|0\rangle _{1}+b|1\rangle _{1},$

$|\phi \rangle _{2}=c|0\rangle _{2}+d|1\rangle _{2}.$

Stany te należą do różnych przestrzeni Hilberta ${\mathcal {H}}_{1}$ i ${\mathcal {H}}_{2}$ ponieważ dotyczą różnych cząstek. Iloczyn tensorowy powyższych stanów ma postać:

$|\psi \rangle _{1}\otimes |\phi \rangle _{2}=(a|0\rangle _{1}+b|1\rangle _{1})\otimes (c|0\rangle _{2}+d|1\rangle _{2}),$

czyli (pomijając symbol iloczynu tensorowego po prawej stronie równania):

$|\psi \rangle _{1}\otimes |\phi \rangle _{2}=ac\,|0\rangle _{1}|0\rangle _{2}+ad\,|0\rangle _{1}|1\rangle _{2}+bc\,|1\rangle _{1}|0\rangle _{2}+bd\,|1\rangle _{1}|1\rangle _{2}.$

Jednak najbardziej ogólny stan powyższych cząstek zwany stanem splątanym, nie da się sprowadzić do powyższego iloczynu tensorowego. Ma postać dowolnej kombinacji liniowej wektorów bazowych, tj.

$|\xi \rangle _{12}=\alpha \,|0\rangle _{1}|0\rangle _{2}+\beta \,|0\rangle _{1}|1\rangle _{2}+\gamma \,|1\rangle _{1}|0\rangle _{2}+\delta \,|1\rangle _{1}|1\rangle _{2},$

gdzie:

$\alpha \neq ac$ lub $\beta \neq ad$ lub $\gamma \neq bc$ lub $\delta \neq bd,$ zachowując jednak warunek normalizacji tj. $|\alpha |^{2}+|\beta |^{2}+|\gamma |^{2}+|\delta |^{2}=1.$

Na przykład dla stanów stanowiących równomierną superpozycję standardowych wektorów bazowych (stany takie można otrzymać za pomocą unitarnej transformacji Hadamarda):

$|+\rangle _{1}={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle _{1}+|1\rangle _{1}),$ $|-\rangle _{2}={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle _{2}-|1\rangle _{2})$

iloczyn tensorowy ma postać:

$|+\rangle _{1}\otimes |-\rangle _{2}={\frac {1}{2}}(|0\rangle _{1}|0\rangle _{2}-|0\rangle _{1}|1\rangle _{2}+|1\rangle _{1}|0\rangle _{2}-|1\rangle _{1}|1\rangle _{2}),$

natomiast stan splątany może mieć dowolne (znormalizowane) współczynniki, np.:

$|\xi \rangle _{12}=i{\frac {1}{\sqrt {3}}}|0\rangle _{1}|0\rangle _{2}+{\frac {1+i}{\sqrt {12}}}|0\rangle _{1}|1\rangle _{2}+{\sqrt {\frac {6}{12}}}|1\rangle _{1}|1\rangle _{2},$

(gdzie $\gamma =0$). W sensie matematycznym stany kwantowe stanowią surjektywną izometrię wektorów bazowych; stan kwantowy może nie zawierać wszystkich wektorów bazowych, jednak musi być znormalizowany. Cztery poniższe stany splątane zwane „stanami Bell’a” tworzą na przykład maksymalnie splątaną bazę czterowymiarowej przestrzeni Hilberta dwóch kubitów:

$|\phi ^{+}\rangle _{12}={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle _{1}|0\rangle _{2}+|1\rangle _{1}|1\rangle _{2}),$

$|\phi ^{-}\rangle _{12}={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle _{1}|0\rangle _{2}-|1\rangle _{1}|1\rangle _{2}),$

$|\psi ^{+}\rangle _{12}={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle _{1}|1\rangle _{2}+|1\rangle _{1}|0\rangle _{2}),$

$|\psi ^{-}\rangle _{12}={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle _{1}|1\rangle _{2}-|1\rangle _{1}|0\rangle _{2}).$

Stany splątane należą do iloczynu tensorowego ${\mathcal {H}}_{1}\otimes {\mathcal {H}}_{2}$ przestrzeni Hilberta ${\mathcal {H}}_{1}$ i ${\mathcal {H}}_{2},$ jednak nie da się ich otrzymać poprzez tensorowe mnożenie stanu należącego do przestrzeni ${\mathcal {H}}_{1}$ i stanu należącego do przestrzeni ${\mathcal {H}}_{2}.$ Stany splątane są więc stanami szczególnymi. Z racji swoich niezwykłych własności wykorzystuje się je m.in. w komputerach kwantowych, przewyższających szybkością obliczeń powszechne dotąd komputery klasyczne.

Przykład 3: Obliczanie iloczynu skalarnego

Jeżeli dane są dwa stany $|\psi \rangle _{1}$ i $|\phi \rangle _{2}$ należące odpowiednio do przestrzeni Hilberta ${\mathcal {H}}_{1}$ i ${\mathcal {H}}_{2},$ takie że

$|\psi \rangle _{1}=a|0\rangle _{1}+b|1\rangle _{1},$

$|\phi \rangle _{2}=c|0\rangle _{2}+d|1\rangle _{2},$

to ich iloczyn tensorowy ma postać (por. Przykład 2):

$|\psi \rangle _{1}\otimes |\phi \rangle _{2}=ac\,|0\rangle _{1}|0\rangle _{2}+ad\,|0\rangle _{1}|1\rangle _{2}+bc\,|1\rangle _{1}|0\rangle _{2}+bd\,|1\rangle _{1}|1\rangle _{2}.$

Iloczyn skalarny powyższego wektora oblicza się licząc iloczyny skalarne wektorów należących do tej samych przestrzeni Hilberta ${\mathcal {H}}_{1}$ lub ${\mathcal {H}}_{2},$ tj.:

$\langle \psi |_{1}\otimes \langle \phi |_{2}|\psi \rangle _{1}\otimes |\phi \rangle _{2}=\langle \psi |\psi \rangle _{1}\otimes \langle \phi |\phi \rangle _{2}=\ldots =(|a|^{2}+|b|^{2})(|c|^{2}+|d|^{2}).$

Przykład 4: Iloczyn tensorowy przestrzeni L²

Jeżeli $\mu$ i $\nu$ są miarami σ-skończonymi, to istnieje dokładnie jeden taki izomorfizm iloczynu tensorowego

$L^{2}(\mu )\otimes L^{2}(\nu )$

na przestrzeń

$L^{2}(\mu \otimes \nu ),$

że $f\otimes g\mapsto fg.$ Symbol $\mu \otimes \nu$ oznacza miarę produktową miar $\mu$ i $\nu .$

W przypadku, gdy zbiór $A$ jest dowolnym zbiorem oraz $\mu$ jest miarą liczącą na $A,$ to

$L^{2}(\mu )=\ell ^{2}(A)$

Jeżeli zbiór $A$ jest nieprzeliczalny, to miara $\mu$ nie jest σ-skończona. Pomimo tego, nawet w przypadku, gdy któryś ze zbiorów $A$ lub $B$ jest nieprzeliczalny, iloczyn tensorowy

$\ell ^{2}(A)\otimes \ell ^{2}(B)$

jest izometryczny z przestrzenią

$\ell ^{2}(A\times B).$

Zobacz też

• iloczyn tensorowy przestrzeni liniowych
• iloczyn tensorowy operatorów nieograniczonych
• iloczyn tensorowy operatorów ograniczonych

Bibliografia

• Joachim Weidmann: Linear operators in Hilbert spaces. Springer, 1980, s. 47–49, seria: Graduate Texts in Mathematics. ISBN 978-0387904276. (ang.).
• Svante Janson: Gaussian Hilbert spaces. Cambridge: Cambridge University Press, 1997, s. 318, seria: Cambridge Tracts in Mathematics. 129. ISBN 978-0-521-56128-0. (ang.).
• Michael Reed, Barry Simon: Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis. Berlin: Academic Press, 1980, s. 50. ISBN 978-0-12-585050-6. (ang.).
• Guściora H., Sadowski M., Repetytorium z algebry liniowej, PWN, Warszawa 1979.
• Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, Frank Laloe, Quantum Mechanics 2, Wiley J., 2006, ISBN 978-0471569527.