Iloczyn tensorowy operatorów ograniczonych

Iloczynem tensorowym operatorów ograniczonych $T_{1},...,T_{n}$ określonych na przestrzeniach Hilberta ${\mathcal {H}}_{1},...,{\mathcal {H}}_{n}$ nazywa się operator $T\equiv T_{1}\otimes ...\otimes T_{n}\equiv \bigotimes _{i=1}^{n}T_{i}$ taki że:

• dziedziną operatora $T$ jest iloczyn tensorowy przestrzeni Hilberta, tj.

  $D(T)={\mathcal {H}}_{1}\otimes {\mathcal {H}}_{2}\cdots \otimes {\mathcal {H}}_{n}$

  (ogólniej: jeżeli dziedzinami operatorów $T_{i}$ są podprzestrzenie odpowiednich przestrzeni Hilberta ${\mathcal {H}}_{i},$ tj. $D(T_{i})\subseteq {\mathcal {H}}_{i}$ to dziedziną operatora $T$ jest iloczyn tensorowy tych podprzestrzeni)

• wynik działania operatora $T$ na wektor $u=u_{1}\otimes \cdots \otimes u_{n}$ – iloczyn tensorowy wektorów $u_{1}\in {\mathcal {H}}_{1},...,u_{n}\in {\mathcal {H}}_{n},$ należący do dziedziny $D(T)$ operatora $T,$ jest równy iloczynowi tensorowemu wektorów $T_{1}(u_{1}),...,T_{n}(u_{n}),$ tj.

  $T(u)=T_{1}(u_{1})\otimes T_{2}(u_{2})\cdots \otimes T_{n}(u_{n})$

  czyli

  $T_{1}\otimes ...\otimes T_{n}(u_{1}\otimes \cdots \otimes u_{n})=T_{1}(u_{1})\otimes T_{2}(u_{2})\cdots \otimes T_{n}(u_{n})$

Iloczyn tensorowy operatorów samosprzężonych

Twierdzenie:

Jeżeli

(1) ${\mathcal {H}}_{i},$ $i=1,...,n$ są skończenie wymiarowymi przestrzeniami Hilberta o wymiarach $m_{i},$

(2) $T_{i}$ są operatorami samosprzężonymi określonymi na przestrzeniach ${\mathcal {H}}_{i},$ oraz

• $\{\lambda _{ij}\}_{j=1}^{m_{i}}$ jest zbiorem wartości własnych operatora $T_{i},$
• $\{e_{ij}\}_{j=1}^{m_{i}}$ jest bazą ortonormalną złożoną z wektorów własnych odpowiadających wartościom własnym operatora $T_{i}$

(3) Operator $T\colon {\mathcal {H}}\to {\mathcal {H}},$ gdzie

${\mathcal {H}}:=\bigotimes _{i=1}^{n}{\mathcal {H}}_{i}$ – iloczyn tensorowy przestrzeni Hilberta

zadany jest wzorem

$T\bigotimes _{i=1}^{n}e_{ij_{i}}=\bigotimes _{i=1}^{j}T_{i}e_{ij_{i}},\,j_{i}\in \{1,\ldots ,m_{i}\}$

(przy czym określenie operatora wyłącznie na wektorach bazy jest wystarczające, zgodnie z twierdzeniem o operatorze liniowym zadanym na bazie)

to słuszne są następujące własności:

(1) operator $T\colon {\mathcal {H}}\to {\mathcal {H}}$ jest również operatorem samosprzężonym

(2) Wartościami własnymi operatora $T$ są liczby

$\prod _{i=1}^{n}\lambda _{ij}$

(3) dla wszystkich $u_{i}\in {\mathcal {H}}_{i},$ $i=1,...,n$ słuszne są równości

$T\bigotimes _{i=1}^{n}u_{i}=\bigotimes _{i=1}^{n}T_{i}u_{i}$

(4) norma operatora $T$ jest iloczynem norm poszczególnych operatorów $T_{i},$ gdyż:

${\begin{aligned}\|T\|&=\max\{|\prod _{i=1}^{n}\lambda _{ij_{i}}|:1\leq j_{i}\leq m_{i}\}\\&=\prod _{i=1}^{n}\max\{|\lambda _{ij}|\colon 1\leq j\leq m_{i}\}\\&=\prod _{i=1}^{n}\|T_{i}\|\end{aligned}}$

Iloczyn tensorowy operatorów ograniczonych

Jeżeli

• ${\mathcal {H}}_{i}$ są przestrzeniami Hilberta
• $T_{i}$ są operatorami ograniczonymi na ${\mathcal {H}}_{i},$ gdzie $i=1,...,n,$

to istnieje dokładnie jeden taki operator ograniczony $T$ na

${\mathcal {H}}=\bigotimes _{i=1}^{n}{\mathcal {H}}_{i},$

że

$T\bigotimes _{i=1}^{n}u_{i}=\bigotimes _{i=1}^{n}T_{i}u_{i}$

dla wszystkich $u_{i}\in {\mathcal {H}}_{i}.$ Ponadto

$\|T\|=\prod _{i=1}^{n}\|T_{i}\|.$

Operator $T$ nazywany jest iloczynem tensorowym operatorów $T_{i}$ i oznaczany symbolem

$\bigotimes _{i=1}^{n}T_{i}.$

Definicja n-tej potęgi tensorowej operatora

Jeżeli ${\mathcal {H}}_{1}={\mathcal {H}}_{2}=\ldots ={\mathcal {H}}_{n}\equiv {\mathcal {H}}$ oraz $T_{1}=T_{2}=\ldots =T_{n}\equiv S,$ to używa się zapisu

$\bigotimes _{i=1}^{n}T_{i}\equiv S^{\otimes n}$

Operator $S^{\otimes n}$ nazywany jest n-tą potęgą tensorową operatora $S.$

Własności

Dla przestrzeniami Hilberta ${\mathcal {H}}_{i}$ oraz liniowych operatorów ograniczonych $S_{i},$ $T_{i}$ określonych na przestrzeniach Hilberta ${\mathcal {H}}_{i},$ gdzie $i=1,...,n$ niech

$S:=\bigotimes _{i=1}^{n}S_{i},\;T:=\bigotimes _{i=1}^{n}T_{i}.$

Wówczas:

• Odwzorowanie $(T_{1},T_{2},\ldots ,T_{n})\mapsto T$ jest n-liniowe.
• $ST=\bigotimes _{i=1}^{n}S_{i}T_{i}$
• $T^{*}=\bigotimes _{i=1}^{n}T_{i}^{*},$
• Jeżeli dla każdego $i=1,...,n$ operator odwrotny do $T_{i}$ istnieje i jest ograniczony to operator odwrotny do operatora $T$ jest również ograniczony.

Ponadto

$T^{-1}=\bigotimes _{i=1}^{n}T_{i}^{-1}$

• Jeśli $T_{i}$ jest samosprzężony, unitarny lub normalny dla każdego $i=1,...,n$ to operator $T$ również.
• Operator $T$ jest dodatni, jeśli dla każdego $i=1,...,n$ operator $T_{i}$ jest dodatni.
• Jeśli $T_{i}=|u_{i}\rangle \langle v_{i}|$ (zob. notacja Diraca), gdzie $u_{i},v_{i}\in {\mathcal {H}}_{i}$ dla każdego $i=1,...,n$ wówczas

$T=|u_{1}\otimes u_{2}\otimes \ldots \otimes u_{n}\rangle \langle v_{1}\otimes v_{2}\otimes \ldots \otimes v_{n}|.$

• Jeżeli $T$ i $S$ są operatorami ograniczonymi na przestrzeniach Hilberta, których widmami są odpowiednio zbiory $\sigma (T)$ i $\sigma (S),$ to widmem iloczynu tensorowego $T\otimes S$ jest zbiór

$\sigma (T)\cdot \sigma (S)=\{t\cdot s\colon \,t\in \sigma (T),s\in \sigma (S)\}$.

Zobacz też

• operator ograniczony