Funkcja wzajemnie jednoznaczna

Funkcja wzajemnie jednoznaczna, bijekcja – wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość między elementami dwóch zbiorów, czyli funkcja będąca jednocześnie iniekcją i suriekcją (funkcją różnowartościową i funkcją „na”). Równoważnie:

• funkcja jest bijekcją wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje funkcja do niej odwrotna – również i ona jest bijekcją;
• przy bijekcji przeciwobraz każdego singletonu również jest singletonem.

Bijekcja umożliwia jednoczesne sparowanie wszystkich elementów odwzorowywanych zbiorów

Diagram przemienny ilustrujący bijekcje jako funkcje odwracalne

Bijekcje pozwalają zdefiniować rozmaite relacje równoważności między obiektami, m.in.:

• równoliczności zbiorów w kombinatoryce i teorii mnogościi,
• izomorfizmu struktur w algebrze abstrakcyjnej i teorii kategorii;
• homeomorfizmu, izometrii i dyfeomorfizmu przestrzeni w topologii.

Duże znaczenie odgrywają też bijekcje endofunkcyjne, tj. przekształcające zbiór w siebie (f:X→X). Bywają nazywane permutacjami – zwłaszcza dla zbiorów skończonych – i tworzą struktury znane jako grupy symetryczne; przekształcenia te pozwalają zdefiniować symetrię figur i innych obiektów. Bijekcje zbioru w siebie po nałożeniu dodatkowych warunków tworzą podgrupy grup symetrycznych, np. grupy alternujące, grupy automorfizmów, izometrii czy dyfeomorfizmów. Szczególnym rodzajem endobijekcji są też inwolucje i inne funkcje torsyjne (skończonego rzędu).

Termin bijekcja powstał najpóźniej w 1954 roku, kiedy pojawił się w pracy zespołu Nicolas Bourbaki.

Przykłady

• Alfabet – ciąg liter danej ortografii, zawierający wszystkie z nich (suriektywność) i każdą dokładnie raz (iniektywność);
• listy obecności – ciągi wszystkich osób z ustalonego zbioru;
• zmiana systemu liczbowego – np. z dziesiętnego na rzymski lub binarny – to bijekcja między zbiorami napisów przedstawiających liczby;
• logarytm w dziedzinie rzeczywistej;
• dowolna iniekcja z przeciwdziedziną zawężoną do obrazu tej funkcji.

Bijekcje działające wewnątrz ustalonego zbioru:

• dowolna niestała funkcja liniowa (funkcja stopnia pierwszego) zmiennej rzeczywistej; tworzą one grupę afiniczną prostej rzeczywistej;
• niektóre inne wielomiany rzeczywiste stopnia nieparzystego, np. x³;
• homografie zmiennej rzeczywistej, również tworzące grupę;
• niektóre pierwiastniki, np. (x−1)^1/3;
• sinus i tangens hiperboliczny.

Przykłady zawiera też artykuł o inwolucjach.

Grupa bijekcji

Rozważając zbiór wszystkich bijekcji ustalonego zbioru można przekonać się o tym, że:

• składanie funkcji jest działaniem dwuargumentowym w tym zbiorze,
• działanie to jest łączne,
• funkcja tożsamościowa jest elementem neutralnym tego działania,
• każda bijekcja ma jednoznacznie określoną do niej bijekcję odwrotną.

W ten sposób zbiór bijekcji z działaniem ich składania spełnia aksjomaty grupy i nazywa się grupą bijekcji.

Tego rodzaju grupy były historycznie jednymi z pierwszych rozważanych grup. Okazuje się, że grupy bijekcji są modelem wszystkich możliwych grup abstrakcyjnych, tj. dowolną grupę można przedstawić w postaci pewnej grupy bijekcji (twierdzenie Cayleya).

Zobacz też

• Twierdzenie Cantora-Bernsteina-Schrödera – warunek równoważny na istnienie bijekcji.