Grupa alternująca

Grupa alternująca (rzadziej: grupa naprzemienna) – grupa parzystych permutacji pewnego zbioru skończonego^[1].

Definicja

Grupą alternującą nazywamy jądro homomorfizmu $f\colon S_{n}\to \{1,-1\}$ danego wzorem

f(\sigma )={\begin{cases}1,&{\mbox{gdy }}\sigma {\mbox{ jest parzysta}}\\-1,&{\mbox{gdy }}\sigma {\mbox{ jest nieparzysta}}\end{cases}}.

Dla grupy symetrycznej rzędu $n$ mówimy również o grupie alternującej stopnia $n$ . Grupę taką oznacza się symbolami $A_{n}$ lub $\operatorname {Alt} (n).$

Przykłady i własności

Grupą alternującą stopnia 4 jest
$A_{4}=\{\operatorname {id} ,\;(123),\;(132),\;(124),\;(142),\;(134),\;(143),\;(234),\;(243),\;(12)(34),\;(13)(24),\;(14)(23)\};$

w szczególności grupa ta ma 12 elementów, lecz żaden z nich nie jest rzędu 4 – przykład ten pokazuje, że twierdzenie odwrotne do twierdzenia Lagrange’a jest (w ogólności) fałszywe.

Dla $n>1,$ grupa $A_{n}$ jest podgrupą normalną grupy symetrycznej $S_{n}$ o ${\tfrac {n!}{2}}$ elementach.
Grupa $A_{n}$ jest przemienna wtedy i tylko wtedy, gdy $n\leqslant 3;$ jest grupą prostą wtedy i tylko wtedy, gdy $n=3$ lub $n\geqslant 5$ ^[1].
$A_{5}$ (rzędu 60) jest najmniejszą nierozwiązalną grupą i najmniejszą nieprzemienną grupą prostą.
Podgrupa alternująca $A_{n}$ jest generowana przez wszystkie cykle długości 3 grupy symetrycznej $S_{n}.$