Algebra abstrakcyjna

Algebra abstrakcyjna (dawniej algebra współczesna^[1]) – dział matematyki badający struktury algebraiczne za pomocą ich homomorfizmów^[1]^[2]^[3] i innych narzędzi^[4]. Niekiedy za części algebry abstrakcyjnej uznaje się także następujące dyscypliny matematyczne: algebrę liniową, elementarną teorię liczb i matematykę dyskretną^[5]. Na przykład Ash przydzielił do algebry abstrakcyjnej następujące obszary matematyki: logikę matematyczną i podstawy matematyki, elementarną arytmetykę, elementarną teorię liczb, nieformalną teorię grup, algebrę liniową i teorię operatorów liniowych^[5]^[6].

Nazwę algebra abstrakcyjna wprowadzono na początku XX wieku dla odróżnienia jej od innych części algebry^[2].

Przykłady struktur algebraicznych

Są nimi m.in.:

grupy^[1]^[7]^[8]^[4]^[5]^[9]^[10]^[11], półgrupy^[11] i grupoidy^[12];
ciała^[1]^[4]^[5]^[10]^[13]^[14]^[15]^[11], pierścienie^[1]^[4]^[5]^[10]^[16]^[13]^[17]^[11] i ideały^[18]^[4]^[10]^[19]^[11];
przestrzenie wektorowe i moduły^[1]^[4]^[20]^[11];
algebry nad ciałami^[21]^[11].

Rola w matematyce

Algebraik Claude Chevalley twierdził, że algebra przede wszystkim stanowi język matematyki i nie istnieje sama dla siebie, lecz jej kierunki rozwoju są uzależnione od potrzeb w innych dziedzinach matematyki^[22]. Hermann Weyl w swym artykule Topologie und abstrakte Algebra als zwei Wege mathematischen Verstandisse (1932) stwierdził, iż algebra abstrakcyjna oraz topologia są głównymi drogami zrozumienia matematycznego^[22].

Takie ujęcie roli algebry abstrakcyjnej w matematyce może uzasadniać algebraizację całej matematyki, rozpoczętą na przełomie XIX i XX wieku^[22]. Algebraizacja matematyki polega na abstrakcyjnym formułowaniu problemów matematycznych w postaci algebraicznej^[10]. Osiągane tą metodą wyniki łączą zazwyczaj wiele pozornie odległych działów matematyki i często są zaskakujące^[10].

Przypisy

↑ ^a ^b ^c ^d ^e ^f Włodzimierz Waliszewski i in., Encyklopedia szkolna. Matematyka, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa 1988, ISBN 83-02-02551-8, s. 7, Algebra.
↑ ^a ^b modern algebra, [w:] Encyclopædia Britannica [dostęp 2022-09-30] (ang.).
↑ Włodzimierz Waliszewski i in., Encyklopedia szkolna. Matematyka, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa 1988, ISBN 83-02-02551-8, s. 264–265, Homomorfizm struktur algebraicznych.
↑ ^a ^b ^c ^d ^e ^f Mathematics: About abstract algebra.
↑ ^a ^b ^c ^d ^e JohnJ. Renze JohnJ., Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Abstract Algebra, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.).
↑ Robert B. Ash, A Primer of Abstract Mathematics, Washington, DC: Math. Assoc. Amer., 1998.
↑ John Beachy: „Abstract Algebra On Line”, Gropus.
↑ Edwin Connell „Elements of Abstract and Linear Algebra”, Chapter 02.
↑ Włodzimierz Waliszewski i in., Encyklopedia szkolna. Matematyka, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa 1988, ISBN 83-02-02551-8, s. 262–264, Grupa.
↑ ^a ^b ^c ^d ^e ^f Encyklopedia Powszechna PWN, PWN, Warszawa 1983, ISBN 83-01-00001-5, t. 1, s. 68, Algebra.
↑ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g Zdzisław Opial, Algebra wyższa, PWN, Łódź 1972, s. 47-49, Podstawowe typy struktur algebraicznych
↑ A.H. Clifford, G.B. Preston: The algebraic theory of semigroups (wyd. rosyjskie). Wyd. 1. Moskwa: Nauka, 1972, s. 15.
↑ ^a ^b Edwin Connell „Elements of Abstract and Linear Algebra”, Chapter 03.
↑ John Beachy: „Abstract Algebra On Line”, Fields.
↑ Włodzimierz Waliszewski i in., Encyklopedia szkolna. Matematyka, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa 1988, ISBN 83-02-02551-8, s. 264, Ciało.
↑ John Beachy: „Abstract Algebra On Line”, Rings.
↑ Włodzimierz Waliszewski i in., Encyklopedia szkolna. Matematyka, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa 1988, ISBN 83-02-02551-8, s. 264, Pierścień.
↑ Jerzy Rutkowski, Algebra abstrakcyjna w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2006, ISBN 978-83-01-14388-6, ISBN 83-01-14388-6; s. 172, definicja 124.
↑ Sethuraman, B.A.. (2015), „A Gentle Introduction to Abstract Algebra”.
↑ John Beachy: „Abstract Algebra On Line”, Modules.
↑ Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; s. 106–107.
↑ ^a ^b ^c Krzysztof Maurin, Przedmowa, Warszawa, 24 grudnia 1975, [w:] Jacek Komorowski, Od liczb zespolonych, do tensorów, spinorów, algebr Liego i kwadryk, PWN, Warszawa 1978, s. IX.

Bibliografia

Bolesław Gleichgewicht, Elementy algebry abstrakcyjnej, Warszawa 1974.

Linki zewnętrzne

Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Abstract Algebra, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2023-06-01].

[encyklopedia-1] ↑ ^a ^b ^c ^d ^e ^f Włodzimierz Waliszewski i in., Encyklopedia szkolna. Matematyka, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa 1988, ISBN 83-02-02551-8, s. 7, Algebra.

[Britannica-2] modern algebra, [w:] Encyclopædia Britannica [dostęp 2022-09-30] (ang.).

[homo-ency-3] Włodzimierz Waliszewski i in., Encyklopedia szkolna. Matematyka, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa 1988, ISBN 83-02-02551-8, s. 264–265, Homomorfizm struktur algebraicznych.

[Mathematics.com-4] ↑ ^a ^b ^c ^d ^e ^f Mathematics: About abstract algebra.

[Wolfram-5] JohnJ. Renze JohnJ., Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Abstract Algebra, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.).

[Ash-6] Robert B. Ash, A Primer of Abstract Mathematics, Washington, DC: Math. Assoc. Amer., 1998.

[Beachy_groups-7] John Beachy: „Abstract Algebra On Line”, Gropus.

[Connell_2-8] Edwin Connell „Elements of Abstract and Linear Algebra”, Chapter 02.

[grupa-ency-9] Włodzimierz Waliszewski i in., Encyklopedia szkolna. Matematyka, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa 1988, ISBN 83-02-02551-8, s. 262–264, Grupa.

[PWN-10] ↑ ^a ^b ^c ^d ^e ^f Encyklopedia Powszechna PWN, PWN, Warszawa 1983, ISBN 83-01-00001-5, t. 1, s. 68, Algebra.

[AW-11] ↑ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g Zdzisław Opial, Algebra wyższa, PWN, Łódź 1972, s. 47-49, Podstawowe typy struktur algebraicznych

[Clifford-12] A.H. Clifford, G.B. Preston: The algebraic theory of semigroups (wyd. rosyjskie). Wyd. 1. Moskwa: Nauka, 1972, s. 15.

[Connell_3-13] Edwin Connell „Elements of Abstract and Linear Algebra”, Chapter 03.

[Beachy_fields-14] John Beachy: „Abstract Algebra On Line”, Fields.

[cialo-ency-15] Włodzimierz Waliszewski i in., Encyklopedia szkolna. Matematyka, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa 1988, ISBN 83-02-02551-8, s. 264, Ciało.

[Beachy_rings-16] John Beachy: „Abstract Algebra On Line”, Rings.

[pierscien-ency-17] Włodzimierz Waliszewski i in., Encyklopedia szkolna. Matematyka, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa 1988, ISBN 83-02-02551-8, s. 264, Pierścień.

[Rutkowski-18] Jerzy Rutkowski, Algebra abstrakcyjna w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2006, ISBN 978-83-01-14388-6, ISBN 83-01-14388-6; s. 172, definicja 124.

[Sethuraman-19] Sethuraman, B.A.. (2015), „A Gentle Introduction to Abstract Algebra”.

[Beachy_modules-20] John Beachy: „Abstract Algebra On Line”, Modules.

[Gleichgewicht-21] Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; s. 106–107.

[Maurin-22] Krzysztof Maurin, Przedmowa, Warszawa, 24 grudnia 1975, [w:] Jacek Komorowski, Od liczb zespolonych, do tensorów, spinorów, algebr Liego i kwadryk, PWN, Warszawa 1978, s. IX.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]