Twierdzenie Vitalego o zbieżności

Twierdzenie Vitalego o zbieżności – twierdzenie teorii miary oraz analizy matematycznej stwierdzające możliwość dokonania przejścia granicznego pod znakiem całki. Jest uogólnieniem dobrze znanego twierdzenia Lebesgue’a o zbieżności ograniczonej. Założenia twierdzenia są wyrażone z użyciem teorii miary oraz pojęcia jednakowej całkowalności ciągu funkcyjnego.

Twierdzenie

Niech $(X,{\mathfrak {m}},\mu )$ będzie przestrzenią z miarą. Przypuśćmy, że $(f_{n})_{n}\subset L^{p}(X,{\mathfrak {m}},\mu )$ będzie ciągiem funkcyjnym w przestrzeni Lebesgue’a $L^{p}(X,{\mathfrak {m}},\mu )$ oraz niech $f\in L^{p}(X,{\mathfrak {m}},\mu ),$ gdzie $1\leqslant p<+\infty .$ Wówczas $f_{n}\to f$ według $p$-tej średniej (tj. w $L^{p}(X,{\mathfrak {m}},\mu )$) wtedy i tylko wtedy, gdy

• (i) $f_{n}$ zbiega według miary do $f;$
• (ii) rodzina funkcji $\{|f_{n}|^{p}\}$ jest jednakowo całkowalna,

  tzn. dla dowolnej liczby $\varepsilon >0$ istnieje taka $\delta >0,$ że dla wszystkich zbiorów mierzalnych $E\subseteq X$ takich, że $\mu (E)<\delta$ zachodzi $\int _{E}|f_{n}(x)|^{p}\,d\mu (x)<\varepsilon$ dla wszystkich $n;$

• (iii) rodzina funkcji $\{|f_{n}|^{p}\}$ jest ciasna,

  tzn. dla dowolnej liczby $\varepsilon >0$ istnieje zbiór mierzalny $E\subseteq X$ taki, że $\mu (E)<+\infty$ oraz $\int _{X\setminus E}|f_{n}(x)|^{p}\,d\mu (x)<\varepsilon$ dla wszystkich $n.$

Uwaga. Jeśli miara jest skończona $(\mu (X)<+\infty ),$ to warunek (iii) wynika z (i) oraz (ii).

Uwaga. Jeśli istnieje taka funkcja $g\in L^{p}(X,{\mathfrak {m}},\mu ),$ że $|f_{n}|\leqslant g,$ to rodzina $\{|f_{n}|^{p}\}$ jest jednakowo całkowalna i ciasna.

Uwaga. Zamiast (i) można zakładać, że $f_{n}$ zbiega punktowo do $f.$

Zobacz też

• twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności ograniczonej
• lemat Fatou