Jędrna rodzina miar

Jędrność (ciasność) (ang. tight) – pojęcie teorii miary formalizujące intuicyjną własność zbioru miar, które nie „uciekają do nieskończoności”. Twierdzenie charakteryzujące jędrne rodziny rozkładów nazywane jest twierdzeniem Prochorowa.

Definicja

Niech $(X,\tau )$ będzie przestrzenią topologiczną, i niech ${\mathfrak {M}}$ będzie σ-algebrą na $X$ zawierającą topologię $\tau$ (czyli każdy podzbiór otwarty w $X$ jest mierzalny, ${\mathfrak {M}}$ może być σ-algebrą borelowską na $X$ ). Niech $M$ będzie rodziną miar określonych na ${\mathfrak {M}}.$

Rodzinę $M$ nazywa się jędrną (bądź ciasną), jeżeli dla dowolnego $\varepsilon >0$ istnieje zwarty podzbiór $K_{\varepsilon }$ przestrzeni $X,$ że dla wszystkich miar $\mu \in M$ zachodzi

\mu (X\setminus K_{\varepsilon })<\varepsilon .

Często rozpatrywanymi miarami są miary probabilistyczne, wtedy ostatnia część może być równoważnie przedstawiona jako

\mu (K_{\varepsilon })>1-\varepsilon .

Przykłady

Przestrzenie zwarte

Jeżeli $X$ jest przestrzenią zwartą, to każda rodzina miar probabilistycznych na $X$ jest jędrna.

Rodzina mas punktowych

Niech dana będzie prosta rzeczywista $\mathbb {R}$ z topologią naturalną (euklidesową). Dla $x\in \mathbb {R}$ niech $\delta _{x}$ oznacza miarę Diraca skupioną w $x.$ Wówczas rodzina

M_{1}:=\{\delta _{n}\colon n\in \mathbb {N} \}

nie jest jędrna, ponieważ zwartymi podzbiorami $\mathbb {R}$ są te i tylko te, które są domknięte i ograniczone, a każdy taki zbiór, ponieważ jest ograniczony, jest $\delta _{n}$ -miary zero dla dostatecznie dużych $n.$ Z drugiej strony, rodzina

M_{2}:=\{\delta _{1/n}\colon n\in \mathbb {N} \}

jest ciasna: przedział zwarty $[0,1]$ będzie pełnił rolę $K_{\varepsilon }$ dla dowolnego $\varepsilon >0.$ W ogólności rodzina miar delt Diraca na $\mathbb {R} ^{n}$ jest jędrna wtedy i tylko wtedy, gdy rodzina ich nośników jest ograniczona.

Rodzina miar gaussowskich

Niech dana będzie $n$ -wymiarowa przestrzeń euklidesowa $\mathbb {R} ^{n}$ ze standardową topologią i σ-algebrą zbiorów borelowskich oraz rodzina miar gaussowskich

\Gamma =\{\gamma _{i}\colon i\in I\},

gdzie zmienna losowa o rozkładzie $\gamma _{i}$ ma wartość oczekiwaną $\mu _{i}\in \mathbb {R} ^{n}$ oraz wariancję $\sigma _{i}^{2}>0.$ Wtedy rodzina $\Gamma$ jest jędrna wtedy i tylko wtedy, gdy obie rodziny $\{\mu _{i}\colon i\in I\}\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ oraz $\{\sigma _{i}^{2}\colon i\in I\}\subseteq \mathbb {R}$ są ograniczone.

Analiza przykładu w przypadku jednowymiarowym.

Niech $m^{*},\sigma ^{*},m_{i},\sigma _{i}\in \mathbb {R}$ będą takie, że

-m^{*}<m_{i}<m^{*}

oraz

0<\sigma _{i}<\sigma ^{*}

dla wszystkich

i\in I.

Niech $\gamma _{i}=N(m_{i},\sigma _{i}^{2})$ będzie rozkładem normalnym ze średnią $m_{i}$ oraz odchyleniem standardowym $\sigma _{i}.$ Wykażemy, że rodzina miar $\{\gamma _{i}\colon i\in I\}$ jest jędrna.

Niech będzie dane $\varepsilon >0.$ Dla $m\in \mathbb {R}$ oraz $\sigma >0$ niech $\Phi _{m,\sigma }$ będzie dystrybuantą rozkładu normalnego $N(m,\sigma )$ i niech $\Phi _{0,1}=\Phi .$ Z własności rozkładu normalnego wiemy, że:

możemy znaleźć $x^{*}>0$ takie, że $\Phi (x^{*})=1-{\frac {\varepsilon }{3}}$ oraz $\Phi (-x^{*})={\frac {\varepsilon }{3}},$
$\Phi _{m,\sigma ^{2}}(x)=\Phi {\Big (}{\frac {x-m}{\sigma }}{\Big )}$ dla wszystkich $x\in \mathbb {R} .$

Połóżmy

d^{-}=-m^{*}-\sigma ^{*}\cdot x^{*}

oraz

d^{+}=m^{*}+\sigma ^{*}\cdot x^{*}.

Na mocy naszych założeń o $m_{i},\sigma _{i}$ mamy, że dla $i\in I{:}$

{\frac {m^{*}+\sigma ^{*}\cdot x^{*}-m_{i}}{\sigma _{i}}}\geqslant {\frac {m_{i}+\sigma _{i}\cdot x^{*}-m_{i}}{\sigma _{i}}}

oraz

{\frac {-m^{*}-\sigma ^{*}\cdot x^{*}-m_{i}}{\sigma _{i}}}\leqslant {\frac {m_{i}-\sigma _{i}\cdot x^{*}-m_{i}}{\sigma _{i}}}.

Stąd

\Phi _{m_{i},\sigma _{i}^{2}}(d^{+})=\Phi _{m_{i},\sigma _{i}^{2}}(m^{*}+\sigma ^{*}\cdot x^{*})=\Phi {\Big (}{\frac {m^{*}+\sigma ^{*}\cdot x^{*}-m_{i}}{\sigma _{i}}}{\Big )}\geqslant \Phi {\Big (}{\frac {m_{i}+\sigma _{i}\cdot x^{*}-m_{i}}{\sigma _{i}}}{\Big )}=\Phi (x^{*})=1-{\frac {\varepsilon }{3}}

oraz

\Phi _{m_{i},\sigma _{i}^{2}}(d^{-})=\Phi _{m_{i},\sigma _{i}^{2}}(-m^{*}-\sigma ^{*}\cdot x^{*})=\Phi {\Big (}{\frac {-m^{*}-\sigma ^{*}\cdot x^{*}-m_{i}}{\sigma _{i}}}{\Big )}\leqslant \Phi {\Big (}{\frac {m_{i}-\sigma _{i}\cdot x^{*}-m_{i}}{\sigma _{i}}}{\Big )}=\Phi (-x^{*})={\frac {\varepsilon }{3}}.

Teraz, dla każdego $i\in I$ mamy

\gamma _{i}([d^{-},d^{+}])=\Phi _{m_{i},\sigma _{i}^{2}}(d^{+})-\Phi _{m_{i},\sigma _{i}^{2}}(d^{-})\geqslant 1-{\tfrac {\varepsilon }{3}}-{\tfrac {\varepsilon }{3}}>1-\varepsilon ,

a zbiór $[d^{-},d^{+}]$ jest zwarty jako domknięty i ograniczony przedział prostej rzeczywistej, więc rodzina rozkładów $N(m_{i},\sigma _{i}^{2})$ jest jędrna.

Jędrność a zbieżność

Jędrność jest często warunkiem koniecznym do udowodnienia słabej zbieżności ciągu miar probabilistycznych, szczególnie, przestrzeń mierzalna jest nieskończonego wymiaru. Zobacz

Jędrność wykładnicza

Uogólnieniem jędrności jest tzw. jędrność wykładnicza, która znalazła swoje zastosowania w teorii wielkich odchyleń. Rodzinę miar probabilistycznych $(\mu _{\delta })_{\delta >0}$ na przestrzeni topologicznej Hausdorffa $X$ nazywa się jędrną (ciasną) wykładniczo, jeśli dla dowolnego $\varepsilon >0$ istnieje podzbiór zwarty $K_{\varepsilon }$ przestrzeni $X$ taki, że

\limsup _{\delta \downarrow 0}\delta \log \mu _{\delta }(X\setminus K_{\varepsilon })<-\varepsilon .

Bibliografia

Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Warszawa: SCRIPT, 2004.
Patrick Billingsley: Probability and Measure. Nowy Jork: John Wiley & Sons, Inc., 1995. ISBN 0-471-00710-2.
Patrick Billingsley: Convergence of Probability Measures. Nowy Jork: John Wiley & Sons, Inc., 1999. ISBN 0-471-19745-9.