Trysekcja kąta

Trysekcja kąta – jeden z trzech (obok podwojenia sześcianu i kwadratury koła) wielkich problemów matematyki greckiej. Polega on na podziale kąta na trzy równe części jedynie przy użyciu cyrkla i liniału. W roku 1837 Pierre Wantzel udowodnił, że konstrukcja taka w ogólnym przypadku jest niewykonalna. Posługując się narzędziami teorii Galois można wykazać, że dla danego kąta $\varphi$ kąt o mierze ${\tfrac {1}{3}}\varphi$ jest konstruowalny wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian

$4x^{3}-3x-\cos \varphi$

jest rozkładalny w ciele $\mathbb {Q} (\cos \varphi ).$

Konstrukcja Archimedesa

Rezygnując z wymogu użycia tylko cyrkla i liniału, można dokonać trysekcji kąta ostrego, wykorzystując konstrukcję Archimedesa (konstrukcja neusis). Używa się do niej cyrkla i liniału z zaznaczonymi dwoma punktami X i Y. Najpierw należy nakreślić okrąg o środku O (gdzie O – wierzchołek kąta) i promieniu $r=|XY|.$ Punkty przecięcia okręgu z ramionami kąta oznaczyć jako A i B. Następnie poprowadzić prostą OA oraz prostą $l$ za pomocą linijki tak, aby jeden z zaznaczonych na linijce punktów np. X należał do prostej OA, zaś (drugi zaznaczony na linijce punkt) Y należał do okręgu i tak by prosta $l$ przechodziła przez punkt B. Wówczas proste OA i $l$ przetną się pod kątem ${\frac {\alpha }{3}}.$

Bibliografia

• Jerzy Browkin: Teoria ciał. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1978. Brak numerów stron w książce
• Agnieszka Nawrot Sabak: Encyklopedia Matematyka. Kraków: GREG, 2008, s. 245. ISBN 978-83-7517-015-3.

Linki zewnętrzne

• Mikołaj Sierżęga i GrzegorzM.S.G. Łukaszewicz Mikołaj Sierżęga i GrzegorzM.S.G., Trysekcja kąta w Geometrii Kartezjusza, „Delta”, listopad 2020, ISSN 0137-3005 [dostęp 2024-05-04] .
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Angle Trisection, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2024-03-07].
• (ang.) John J O’Connor, Edmund F. Robertson, Trysekcja kąta w MacTutor History of Mathematics archive