Kwadratura koła
Kwadratura koła – problem polegający na skonstruowaniu kwadratu, którego pole równe jest polu danego koła[1] przy użyciu wyłącznie cyrkla i linijki bez podziałki[2]. Jest to jeden z trzech wielkich problemów starożytnej matematyki greckiej (obok trysekcji kąta i podwojenia sześcianu), sformułowany przez szkołę pitagorejską.
Wykonalność i próby
edytujKonstrukcja taka jest niewykonalna[2] – wynika to z twierdzenia udowodnionego w roku 1837 przez Pierre’a Wantzela oraz faktu wykazanego w 1882 roku przez Ferdinanda Lindemanna, iż π jest liczbą przestępną[2].
Pierwsze próby kwadratury koła sięgają Starożytnego Egiptu, opisane zostały jako problem 48 w Papirusie Rhinda, gdzie opisana została aproksymacja kwadratury koła[3].
Kwadratura koła jest bezpośrednio związana z rektyfikacją okręgu: gdyby jedna z tych konstrukcji była wykonalna, oznaczałoby to, że wykonalna jest także druga.
Określenie „kwadratura koła” funkcjonuje również w języku potocznym i oznacza coś niewykonalnego, z góry skazanego na niepowodzenie.
Hipotetyczne rozwiązanie
- promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym jest równy ⅔ wysokości tego trójkąta, czyli R = ⅔h.
- promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny jest równy ⅓ wysokości tego trójkąta, czyli r = ⅓h.
- wysokość trójkąta równobocznego jest równa połowie boku pomnożonej przez √3, czyli h = ½a√3.
- długość boku trójkąta równobocznego można obliczyć ze wzoru: a = h 3–√ 2.
Podstawiając dane do wzorów, otrzymujemy układ równań:
Rozwiązując układ równań, otrzymujemy:
Podstawiając r = 1 i a = √π, otrzymujemy:
Z tych równań wynika, że R = 2 i a = √π. Zatem bok trójkąta równobocznego z opisanego na nim koła tak, by r = 1 i a = √π, jest równy √π.
Konstrukcyjnie trzeba utworzyć trójkąt równoboczny wpisany w okrąg, podstawa trójkąta będzie bokiem kwadratu, o wysokości h=3r dla r=1
Zobacz też
edytuj
Przypisy
edytuj- ↑ kwadratura koła, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-09-29].
- ↑ a b c Matematyka, Warszawa: Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, 1990 (Encyklopedia szkolna), s. 116, ISBN 83-02-02551-8.
- ↑ Hans Niels Jahnke: A history of analysis. Providence, RI: American Mathematical Society, 2003, s. 15. ISBN 0-8218-2623-9. OCLC 51607350.
Linki zewnętrzne
edytuj- Marek Kordos, Rektyfikacja i kwadratura według Archimedesa, „Delta”, marzec 2018, ISSN 0137-3005 [dostęp 2024-11-02].
- Eric W. Weisstein, Circle Squaring, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2024-03-07].
- John J. O’Connor, Edmund F. Robertson, Squaring the circle [online], MacTutor History of Mathematics archive [dostęp 2018-07-20] [zarchiwizowane z adresu 2012-12-23] (ang.).