Rozkład dwumianowy

Rozkład dwumianowy (w Polsce zwany też rozkładem Bernoulliego, choć w krajach anglojęzycznych termin Bernoulli distribution odnosi się do rozkładu zero-jedynkowego) – dyskretny rozkład prawdopodobieństwa opisujący liczbę sukcesów $k$ w ciągu $N$ niezależnych prób, z których każda ma stałe prawdopodobieństwo sukcesu równe $p.$ Pojedynczy eksperyment nosi nazwę próby Bernoulliego.

Rozkład dwumianowy

Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa
Dystrybuanta Kolory odpowiadają wykresowi powyżej
Parametry	$n\geqslant 0$ liczba prób (liczba całkowita) $0\leqslant p\leqslant 1$ prawdopodobieństwo sukcesu (liczba rzeczywista)
Nośnik	$k\in \{0,\dots ,n\}$
Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa	${n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}$
Dystrybuanta	$I_{1-p}(n-\lfloor k\rfloor ,1+\lfloor k\rfloor )$
Wartość oczekiwana (średnia)	$np$
Mediana	jedna z $\{\lfloor np\rfloor -1,{}$$\lfloor np\rfloor ,\lfloor np\rfloor +1\}$
Moda	$\lfloor (n+1)\,p\rfloor$
Wariancja	$np(1-p)$
Współczynnik skośności	${\frac {1-2p}{\sqrt {np(1-p)}}}$
Kurtoza	${\frac {1-6p(1-p)}{np(1-p)}}$
Entropia	${\frac {1}{2}}\ln(2\pi nep(1-p))\,{}$${}+O\left({\frac {1}{n}}\right)$
Funkcja tworząca momenty	$(1-p+pe^{t})^{n}$
Funkcja charakterystyczna	$(1-p+pe^{it})^{n}$
Odkrywca	George Udny Yule (1911)

Innym rozkładem, który opisuje liczbę sukcesów w ciągu $N$ prób, jest rozkład hipergeometryczny. W tym przypadku jednak próby nie są niezależne (próba bez zwracania).

Jeśli $X\sim \mathrm {B} (n,p)$ i $Y\sim \mathrm {B} (m,p)$ są dwiema niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie dwumianowym, wtedy ich suma $X+Y$ jest zmienną losową o rozkładzie dwumianowym danym wzorem:

$B\left(n+m,p\right).$

W zależności od wartości parametrów rozkład dwumianowy można przybliżać innymi z rozkładów:

• Jeśli zarówno $np,$ jak i $n(1-p)$ są większe od 5, wtedy rozkład dwumianowy można przybliżać rozkładem normalnym:

$N\left(np,\sigma ^{2}=np\left(1-p\right)\right),$ czyli $N\left(np,\sigma ={\sqrt {np\left(1-p\right)}}\right).$

• Jeśli $n$ jest duże, a $p$ jest małe (czyli $np$ ma umiarkowanie dużą wartość), dobrym przybliżeniem rozkładu dwumianowego jest rozkład Poissona z parametrem $\lambda =np.$

Zobacz też

• rozkład Dirichleta
• ujemny rozkład dwumianowy

Bibliografia

• Rozkład po raz pierwszy wprowadzony w pracy:

George Udny Yule: An Introduction to the Theory of Statistics. Londyn: Griffin, 1911. Brak numerów stron w książce