Przestrzeń ściśle wypukła

Przestrzeń ściśle wypukła – przestrzeń unormowana $X$ o tej własności, że brzeg kuli jednostkowej (tj. sfera jednostkowa) tej przestrzeni nie zawiera odcinka, tj. każda prosta w przestrzeni $X$ ma co najwyżej dwa punkty wspólne ze sferą jednostkową.

Definicje równoważne

Niech $X$ będzie przestrzenią Banacha. Wówczas następując warunki są równoważne:

$X$ jest ściśle wypukła,
jeżeli $x\neq y$ są elementami sfery jednostkowej przestrzeni $X,$ to $\|x+y\|<2.$
jeżeli $x\neq y$ są elementami sfery jednostkowej przestrzeni $X,$ to $\|\alpha x+(1-\alpha )y\|<1$ dla wszelkich $0<\alpha <1.$
jeżeli $x$ i $y$ są niezerowymi elementami przestrzeni $X$ oraz $\|x+y\|=\|x\|+\|y\|,$ to $x=cy$ dla pewnej liczby $c$ ^[1].

Przykłady

Przestrzeń c₀ nie jest ściśle wypukła, gdyż dla $x=(1,1,0,0,\dots ),$ $y=(1,0,0,\dots ),$ $\|x+y\|=2=\|x\|+\|y\|,$ jednak $x$ i $y$ nie są liniowo zależne^[2]. Ogólniej, jeżeli przestrzeń zwarta Hausdorffa $K$ ma co najmniej 2 punkty, to przestrzeń funkcji ciągłych $C(K)$ nie jest ściśle wypukła^[2].
Dla $p\in [1,\infty ],$ przestrzeń ℓ_p (bądź $L_{p}[0,1]$ ) jest ściśle wypukła wtedy i tylko wtedy, gdy $p\in (1,\infty ).$ (W tym przypadku, z nierówności Hannera wynika, że są one jednostajnie wypukłe).

Przenormowania ściśle wypukłe

Jeżeli $Y$ jest przestrzenią ściśle wypukłą, a $X$ jest taką przestrzenią Banacha, że istnieje różnowartościowy, ograniczony operator liniowy $T\colon X\to Y,$ to wzór $\|x\|_{T}=\|x\|+\|Tx\|(x\in X)$ określa normę równoważną w $X,$ która jest ściśle wypukła. W konsekwencji, w każdej ośrodkowej przestrzeni Banacha $X$ można wprowadzić normę równoważną, która jest ściśle wypukła, ponieważ istnieje operator różnowartościowy $T\colon X\to \ell _{2}.$
Day wykazał, że dla każdego zbioru nieprzeliczlnego $\Gamma$ przestrzeń $\ell _{\infty }(\Gamma )$ wszystkich ograniczonych funkcji rzeczywistych na $\Gamma$ nie ma równoważnej normy ściśle wypukłej (nie ma takiej normy podprzestrzeń przestrzeni $\ell _{\infty }(\Gamma ),$ ) złożona z tych funkcji których co najwyżej przeliczalnie wiele współrzędnych jest niezerowych^[3] W tej samej pracy, Day wykazał, że w $c_{0}(\Gamma )$ istnieje równoważna norma ściśle wypukła. Amir i Lindenstrauss wykazali, że dla każdej przestrzeni typu WCG $X$ istnieje różnowartościowy, ograniczony operator liniowy $T\colon X\to c_{0}(\Gamma )$ dla pewnego zbioru $\Gamma$ ^[4]. W konsekwencji w każdej przestrzeni typu WCG można wprowadzić równoważną normę ściśle wypukłą.
Operator $T\colon \ell _{\infty }\to \ell _{2}$ dany wzorem $T(x_{n})=(x_{n}\cdot n^{-1})$ jest ograniczony i różnowartościowy, a zatem w przestrzeni $\ell _{\infty }$ można wprowadzić równoważną normę ściśle wypukłą. Bourgain udowodnił, że w przestrzeni ilorazowej $\ell _{\infty }/c_{0}$ nie ma ściśle wypukłej normy równoważnej^[5].