Macierze podobne

Macierze podobne – macierze kwadratowe $A,B$ stopnia $n$ nad ciałem $\mathbb {K} ,$ spełniające równość $A=C^{-1}BC,$ dla pewnej macierzy $C$ nieosobliwej.

Relację podobieństwa macierzy oznacza się symbolem $\approx .$ Podobieństwo macierzy zapisuje się: $A\approx B$.

Relacja podobieństwa macierzy jest relacją równoważności, ponieważ jest:

• zwrotna: $A\approx A,$ ponieważ $A=I^{-1}AI,$ gdzie $I$ to macierz identycznościowa;
• symetryczna: ${\Big (}A=C^{-1}BC\Rightarrow B=(C^{-1})^{-1}AC^{-1}{\Big )}\Longrightarrow {\Big (}A\approx B\Rightarrow B\approx A{\Big )};$
• przechodnia: $(A\approx B\wedge B\approx C)\Rightarrow (A=D^{-1}BD\wedge B=E^{-1}CE)\Rightarrow A=(ED)^{-1}C(ED)\Rightarrow A\approx C$.

Własności

Macierz $B$ nazywa się podobną do macierzy $A,$ jeżeli istnieje taka macierz nieosobliwa $C,$ że $B=C^{-1}AC.$ Mówi się, że macierz $B$ powstaje z macierzy $A$ za pomocą przekształcenia zwanego podobieństwem. Przekształcenie to ma następujące własności:

$C^{-1}A_{1}C+C^{-1}A_{2}C+\,\dots \,+C^{-1}A_{n}C=C^{-1}(A_{1}+A_{2}+\,\dots \,+A_{n})C),$

$C^{-1}A_{1}CC^{-1}A_{2}C\,\dots \,C^{-1}A_{n}C=C^{-1}(A_{1}A_{2}\,\dots \,A_{n})C.$

W szczególności $(C^{-1}AC)^{n}=C^{-1}A^{n}C$ i ogólnie $f(C^{-1}AC)=C^{-1}f(A)C$ dla dowolnego wielomianu $f(\lambda ).$

Z ostatniej własności wynika, że

• macierze podobne mają jednakowe wielomiany charakterystyczne, ponieważ

$|B-\lambda I|=|C^{-1}AC-\lambda C^{-1}IC|=|C^{-1}|\ |A-\lambda I|\ |C|=|A-\lambda I|,$ gdzie $I$ to macierz identycznościowa.

Wartości i wektory własne

Macierze podobne $A$ i $B=C^{-1}AC$ mają jednakowe wielomiany charakterystyczne i dlatego mają także jednakowe widma wartości własnych. Geometryczny sens tej zależności wynika z faktu, że macierze te reprezentują jedno i to samo przekształcenie odniesione do różnych baz. Dlatego wektory własne macierzy podobnych są kolumnami utworzonymi ze współrzędnych wektorów własnych danego przekształcenia w różnych bazach i wobec tego zachodzi między nimi związek

$x_{B}=C^{-1}x_{A},$

gdzie $C$ jest macierzą przekształcenia współrzędnych. Związek ten wynika z równań

$\left.{\begin{matrix}\quad (A-\lambda I)x_{A}=0\\\quad (B-\lambda I)x_{B}=0\end{matrix}}\;\;\right\}{\begin{matrix}\quad (C^{-1}AC-\lambda C^{-1}IC)x_{B}=0\\C^{-1}(A-\lambda I)Cx_{B}=0\\(A-\lambda I)x_{A}=0\end{matrix}}\;\to \;x_{B}=C^{-1}x_{A}.$

Bibliografia

• W.N. Faddiejewa, Metody numeryczne algebry liniowej, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1955.
• Andrzej Sołtysiak, Algebra liniowa, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Poznań 1999, ISBN 83-232-1018-7