Kostka Cantora

Kostka Cantora (ciężaru $\kappa ,$ gdzie $\kappa$ jest nieskończoną liczbą kardynalną) – przestrzeń produktowa $\kappa$ kopii zbioru $\{0,1\}$ z topologią dyskretną. Kostka Cantora ciężaru $\kappa$ oznacza jest zwykle symbolem $D^{\kappa }$ – dokładniej:

Kostka kantora w trójwymiarze

$D^{\kappa }=\prod _{s\in S}D_{s},$

gdzie $S$ jest dowolnym zbiorem mocy $\kappa$ oraz dla każdego $s\in S$ zbiór $D_{s}$ jest dwuelementową przestrzenią dyskretną, np. $D_{s}=\{0,1\}.$

Dla $\kappa =\aleph _{0}$ przestrzeń $D^{\kappa }$ nazywamy zbiorem Cantora.

Własności

• Ciężar kostki $D^{\kappa }$ wynosi $\kappa$ dla każdej nieskończonej liczby kardynalnej $\kappa .$
• Kostka Cantora jest ciągowo zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy jej ciężar jest przeliczalny.
• Kostka Cantora $D^{\kappa }$ jest przestrzenią uniwersalną dla przestrzeni zerowymiarowych o ciężarze $\kappa \geqslant \aleph _{0}.$
• Każda zwarta przestrzeń Hausdorffa o ciężarze $\kappa \geqslant \aleph _{0}$ jest ciągłym obrazem domkniętej podprzestrzeni kostki Cantora $D^{\kappa }.$

Przestrzenie diadyczne

Przestrzeń Hausdorffa, która jest ciągłym obrazem kostki Cantora nazywana jest przestrzenią diadyczną.

• Nikołaj Szanin udowodnił, że jeżeli X jest nieskończoną przestrzenią diadyczną, to najmniejszą liczbą kardynalną $\kappa$ dla której X jest obrazem kostki Cantora ciężaru $\kappa$ jest ciężar przestrzeni X, tzn. $\kappa =w(X)$.
• Każda przestrzeń diadyczna ciężaru $\kappa$ zawiera podprzestrzeń diadyczną dowolnego mniejszego ciężaru.

Zobacz też

• kostka Aleksandrowa
• kostka Tichonowa