Funkcja kardynalna

Funkcja kardynalna – funkcja, której wartościami są liczby kardynalne. Zwykle tej nazwy używa się gdy, dodatkowo, wartości funkcji są nieskończonymi liczbami kardynalnymi. Często funkcje te są klasami.

Funkcje kardynalne są jednym z najbardziej widocznych połączeń teorii mnogości z innymi dziedzinami matematyki. Dostarczają one wygodnego języka do opisu różnych własności obiektów matematycznych i są również interesującym obiektem badań samym w sobie.

Funkcje kardynalne w teorii mnogości

• Najczęściej spotykaną funkcją kardynalną jest funkcja moc zbioru, która dla zbioru $A$ przyporządkowuje jego moc $|A|.$
• Czasami dla ideałów podzbiorów jakiegoś zbioru bada się następujące funkcje kardynalne, nazywane też współczynnikami kardynalnymi ideału. Niech $I$ będzie takim ideałem podzbiorów zbioru $S,$ który zawiera wszystkie zbiory jednopunktowe. Określamy:

$\mathrm {add} (I)=\min\{|{\mathcal {A}}|:{\mathcal {A}}\subseteq I\wedge \bigcup {\mathcal {A}}\notin I{\big \}},$

$\mathrm {cov} (I)=\min\{|{\mathcal {A}}|:{\mathcal {A}}\subseteq I\wedge \bigcup {\mathcal {A}}=S{\big \}},$

$\mathrm {non} (I)=\min\{|A|:A\subseteq S\ \wedge \ A\notin I{\big \}},$

$\mathrm {cof} (I)=\min\{|{\mathcal {B}}|:{\mathcal {B}}\subseteq I\wedge (\forall A\in I)(\exists B\in {\mathcal {B}})(A\subseteq B){\big \}}.$

• Dla praporządku $(\mathbb {P} ,\sqsubseteq )$ określa się liczbę nieograniczoną ${\mathfrak {b}}(\mathbb {P} )$ oraz liczbę dominującą ${\mathfrak {d}}(\mathbb {P} )$ tego praporządku przez

${\mathfrak {b}}(\mathbb {P} )=\min {\big \{}|Y|:Y\subseteq \mathbb {P} \ \wedge \ (\forall x\in \mathbb {P} )(\exists y\in Y)(y\not \sqsubseteq x){\big \}},$

${\mathfrak {d}}(\mathbb {P} )=\min {\big \{}|Y|:Y\subseteq \mathbb {P} \ \wedge \ (\forall x\in \mathbb {P} )(\exists y\in Y)(x\sqsubseteq y){\big \}}.$

Funkcje kardynalne w topologii

Funkcje kardynalne są szeroko używane w topologii, gdzie są bardzo wygodnym narzędziem w opisie własności przestrzeni topologicznych. Na przykład rozważa się następujące funkcje kardynalne:

• Ciężar przestrzeni $X$ to $\mathrm {w} (X)=\min\{|{\mathcal {B}}|:{\mathcal {B}}$ jest bazą topologii na $X\}+\aleph _{0}.$
• Gęstość przestrzeni $X$ to $\mathrm {d} (X)=\min\{|S|:S\subseteq X\ \wedge \ \mathrm {cl} _{X}(S)=X\}+\aleph _{0}.$
• Celularność przestrzeni $X$ to

$\mathrm {c} (X)=\sup\{|{\mathcal {U}}|:{\mathcal {U}}$ jest rodziną parami rozłącznych niepustych otwartych podzbiorów $X\}+\aleph _{0}.$

• Ciasność przestrzeni $X$ w punkcie $x\in X$ to

$t(x,X)=\sup {\big \{}\min\{|Z|:Z\subseteq Y\ \wedge \ x\in \mathrm {cl} _{X}(Z)\}:Y\subseteq X\ \wedge \ x\in \mathrm {cl} _{X}(Y){\big \}}$

i ciasność przestrzeni $X$ to $t(X)=\sup\{t(x,X):x\in X\}.$

• Rozciągłość przestrzeni $X$ to

$s(X)=\sup\{|Y|:Y\subseteq X$ z topologią podprzestrzeni jest przestrzenią dyskretną$\}.$

Funkcje kardynalne w teorii algebr Boole’a

Funkcje kardynalne są często używanym narzędziem do opisu i badania algebr Boole’a. Rozważa się, na przykład, następujące funkcje:

• Celularność $c(\mathbb {B} )$ algebry Boole’a $\mathbb {B}$ jest to supremum mocy antyłańcuchów w $\mathbb {B} .$
• Długość $\mathrm {length} (\mathbb {B} )$ algebry Boole’a $\mathbb {B}$ to

$\mathrm {length} (\mathbb {B} )=\sup {\big \{}|A|:A\subseteq \mathbb {B}$ jest łańcuchem${\big \}}$

• Głębokość $\mathrm {depth} (\mathbb {B} )$ algebry Boole’a $\mathbb {B}$ to

$\mathrm {depth} (\mathbb {B} )=\sup {\big \{}|A|:A\subseteq \mathbb {B}$ jest dobrze uporządkowanym łańcuchem${\big \}}.$

• Nieporównywalność $\mathrm {Inc} (\mathbb {B} )$ algebry Boole’a $\mathbb {B}$ to

$\mathrm {Inc} (\mathbb {B} )=\sup {\big \{}|A|:A\subseteq \mathbb {B}$ oraz ${\big (}\forall a,b\in A{\big )}{\big (}a\neq b\ \Rightarrow \neg (a\leqslant b\ \vee \ b\leqslant a){\big )}{\big \}}.$

• Pseudociężar $\pi (\mathbb {B} )$ algebry Boole’a $\mathbb {B}$ to

$\pi (\mathbb {B} )=\min {\big \{}|A|:A\subseteq \mathbb {B} \setminus \{0\}$ oraz ${\big (}\forall b\in B\setminus \{0\}{\big )}{\big (}\exists a\in A{\big )}{\big (}a\leqslant b{\big )}{\big \}}.$

Funkcje kardynalne w algebrze

Funkcje kardynalne w algebrze są mniej wyeksponowane, niemniej jednak są one tam obecne. Przykładami takich funkcji są:

• Wymiar przestrzeni liniowej $V$ nad ciałem$K.$
• Dla modułu wolnego $M$ nad pierścieniem przemiennym $R$ wprowadza się rangę $\mathrm {rank} (M)$ jako moc dowolnej bazy wolnej tego modułu.
• Dla podprzestrzeni $W$ przestrzeni liniowej $V$ rozważa się kowymiar tej przestrzeni (względem $V$).
• Dla (przemiennej) grupy nieskończenie podzielnej $G$ rozważa się rangi $\nu _{0}(G)$ i $\nu _{p}(G)$ (dla wszystkich liczb pierwszych $p$) dane przez rozkład

$G=\left(\bigoplus \limits _{p\in \mathbb {P} }\mathbb {Z} [p^{\infty }]^{(\nu _{p}(G))}\right)\oplus \mathbb {Q} ^{(\nu _{0}(G))}.$

(Powyżej, $\mathbb {P}$ jest zbiorem wszystkich liczb pierwszych, $\mathbb {Q}$ jest grupą addytywną liczb wymiernych, a $\mathbb {Z} [p^{\infty }]=\{e^{\frac {2ni\pi }{p^{m}}}\,|\,n\in \mathbb {Z} ^{+},\,m\in \mathbb {Z} ^{+}\}$ jest grupą $p$-quasi cykliczną).

• Dla każdej struktury algebraicznej można rozważać minimalną moc zbiorów generatorów tej struktury.

Funkcje kardynalne w analizie funkcjonalnej

• Dla przestrzeni Banacha $X$ rozważa się zbiory Enflo-Rosenthala (tzw. ER-zbiory) będące uogólnieniami bazy Schaudera. (Zbiór $A\subseteq X$ jest zbiorem Enflo-Rosenthala jeśli każdy jego przeliczalny podzbiór może być uporządkowany tak, że stanowi ciąg bazowy oraz każdy element $X$ jest granicą ciągu skończonych kombinacji elementów $A$). Minimalne moce ER-zbiorów są (oczywiście) funkcjami kardynalnymi na przestrzeniach Banacha dopuszczających istnienie takich zbiorów.