Klasa (matematyka)

Klasa – wielość obiektów, która może być określona przez własność posiadaną przez wszystkie jej elementy. Pojęcie klasy jest uogólnieniem pojęcia zbioru.

Wiele obiektów w matematyce jest „za dużych” aby badać je przy użyciu zbiorów i muszą być opisywane przy użyciu klas. W literaturze istnieje kilka sposobów formalizacji pojęcia klasy.

Przykłady

Przykłady klas:

klasa wszystkich zbiorów – rozważanie zbiorów wszystkich zbiorów prowadzi do antynomii (paradoks zbioru wszystkich zbiorów), dlatego wszystkie zbiory tworzą klasę właściwą
klasa wszystkich liczb porządkowych – rozważanie zbioru wszystkich liczb porządkowych prowadzi do antynomii (paradoks Buralego-Fortiego), dlatego liczby porządkowe tworzą klasę właściwą
klasa wszystkich liczb nadrzeczywistych – jest to nadklasa klasy wszystkich liczb porządkowych
klasy obiektów dużych kategorii, np. Top – kategorii wszystkich przestrzeni topologicznych
uniwersum konstruowalne

Klasy jako formuły

Klasy można traktować jako nieformalne obiekty wyznaczone przez formuły języka teorii mnogości. Podejście takie jest przyjmowane, na przykład, w monografii Thomasa Jecha^[1]. W książce tej, dla formuły $\varphi (x,y_{1},y_{2},\dots ,y_{n})$ o zmiennych wolnych zawartych wśród $x,y_{1},y_{2},\dots ,y_{n}$ oraz parametrów $p_{1},\dots ,p_{n},$ wprowadza się klasę definiowaną przez $\varphi$ z parametrów $p_{1},\dots ,p_{n}$ jako $\mathbf {C} =\{x:\varphi (x,p_{1},\dots ,p_{n})\}.$ Tak więc dla klasy $\mathbf {C}$ zdefiniowanej przez $\varphi$ z parametrów $p_{1},\dots ,p_{n}$ mamy

x\in \mathbf {C}

wtedy i tylko wtedy, gdy

\varphi (x,p_{1},\dots ,p_{n}).

Klasy $\mathbf {C} ,\mathbf {D}$ zdefiniowane przez $\varphi (x,p_{1},\dots ,p_{n}),$ $\psi (x,q_{1},\dots ,q_{m})$ (odpowiednio) są równe wtedy i tylko wtedy, gdy mają te same elementy, czyli gdy

(\forall x)(\varphi (x,p_{1},\dots ,p_{n})\ \Leftrightarrow \ \psi (x,q_{1},\dots ,q_{m}))

Przy tym podejściu, wprawdzie wykonujemy różne operacje na klasach czy też rozważamy różne relacje między nimi, klasy są tożsame z formułami je definiującymi. Każde użycie klasy może być zastąpione przez odwołanie do formuły ją definiującej.

Teoria klas Morse’a-Kelleya

John L. Kelley^[2] zaproponował podejście sformalizowane trochę inaczej przez Anthony Morse’a^[3] i rozważane też przez Johna von Neumanna, a znane dzisiaj jako teoria klas Morse’a-Kelleya (lub system Morse’a-Kelleya). Jest to teoria w języku ${\mathcal {L}}(\in );$ obiekty nazywane są klasami, a klasy które są elementami innych klas nazywane są też zbiorami (tak więc „ $x$ jest zbiorem” jest formułą $(\exists y)(x\in y)$ ). Klasy które nie są zbiorami nazywane są klasami właściwymi.

W literaturze przedmiotu spotyka się kilka zestawów aksjomatów nazywanych aksjomatami teorii klas Morse’a-Kelleya. Różnice między rozważanymi aksjomatykami mogą być bardzo istotne, a odpowiadające im teorie mogą być różne. Jedną ze spotykanych aksjomatyk jest następująca (w tym ujęciu zakłada się bardzo silną wersję AC):

Aksjomat ekstensjonalności (klasy mające te same elementy są równe).
Dla każdej formuły $\varphi$ języka ${\mathcal {L}}(\in )$ wprowadzamy aksjomat orzekający, że istnieje klasa złożona ze zbiorów, które spełniają tę formułę:

{\Big (}\exists y{\Big )}{\Big (}\forall x{\Big )}{\Big (}x\in y\ \Leftrightarrow \ ((\exists z)(x\in z)\ \wedge \ \varphi (x)){\Big )}.

Aksjomat pary (dla każdych zbiorów $x,y$ istnieje zbiór $\{x,y\},$ którego jedynymi elementami są $x$ i $y$ ).
Klasa C jest klasą właściwą wtedy – i tylko wtedy – gdy istnieje bijekcja z C na klasę V wszystkich zbiorów.
Aksjomat zbioru potęgowego: dla zbioru A, klasa wszystkich podzbiorów zbioru $A$ jest zbiorem.
Aksjomat sumy: suma zbioru zbiorów jest zbiorem.
Aksjomat nieskończoności:

{\Big (}\exists w\in \mathbf {V} {\Big )}{\Big (}\varnothing \in w\ \wedge \ (\forall y\in w)(y\cup \{y\}\in w){\Big )}

Aksjomat regularności:

{\Big (}\forall x{\Big )}{\Big (}x\neq \varnothing \ \Rightarrow \ (\exists y\in x)(y\cap x=\varnothing ){\Big )}.

Teoria ta istotnie rozszerza teorię ZFC.

Wojciech Guzicki i Paweł Zbierski opierają swój wykład teorii mnogości^[4] na zbliżonej aksjomatyce.

Teoria klas NBG

Aksjomatyzacja teorii mnogości zaproponowana przez von Neumanna, rozwinięta przez Paula Bernaysa, a następnie uproszczona przez Kurta Gödla znana jest dzisiaj jako aksjomatyka NBG. Występują w niej dwa rodzaje obiektów (klasy i zbiory) i relacja należenia

x\in y

jest określona tylko wtedy, gdy $x$ jest zbiorem. W literaturze istnieje kilka różnych aksjomatyk określanych jako aksjomaty teorii klas von Neumanna-Bernaysa-Gödla. Różnice między nimi mogą być bardzo istotne a odpowiadające im teorie mogą być różne. Jedną ze spotykanych aksjomatyk jest następująca (w tym ujęciu zakłada się bardzo silną wersję AC):

Aksjomaty extensjonalności (klasy mające te same elementy są równe; zbiory mające te same elementy są równe).
Dla każdej formuły $\varphi ,$ w której nie ma kwantyfikowania po klasach, wprowadzamy aksjomat orzekający, że istnieje klasa złożona z tych zbiorów, które spełniają tę formułę.
Aksjomat pary (dla każdych zbiorów $x,y$ istnieje zbiór $\{x,y\}$ którego jedynymi elementami są $x$ i $y$ ).
Dla każdej klasy C,

istnieje zbiór

c

taki że

(\forall x)(x\in c\Leftrightarrow x\in \mathbf {C} )

wtedy i tylko wtedy, gdy

nie istnieje żadna bijekcja z C na klasę V wszystkich zbiorów.

Aksjomat zbioru potęgowego: dla zbioru $x,$ istnieje zbiór złożony z wszystkich podzbiorów $x.$
Aksjomat sumy: dla każdego zbioru $x$ istnieje zbiór złożony ze wszystkich elementów zbioru $x.$
Aksjomat nieskończoności: istnieje zbiór induktywny, tzn. zbiór $w$ taki że

\varnothing \in w\ \wedge \ (\forall y\in w)(y\cup \{y\}\in w)

Aksjomat regularności: w każdej niepustej klasie C można znaleźć element $x$ rozłączny z tą klasą.

Teoria NBG jest konserwatywnym rozszerzeniem ZFC (tzn. zdania w języku ZFC są dowodliwe w ZFC wtedy i tylko wtedy, gdy są one dowodliwe w NBG).

Przypisy

↑ Thomas Jech: Set theory. The third millennium edition. „Springer Monographs in Mathematics”. Springer-Verlag, Berlin, 2003. ISBN 3-540-44085-2.
↑ John Kelley: General topology. 1976 (1955). ISBN 0-387-90125-6.
↑ Anthony Morse: A Theory of Sets. Academic Press, New York 1965.
↑ Wojciech Guzicki, Paweł Zbierski: Podstawy teorii mnogości, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa, 1978.

Linki zewnętrzne

Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Set Class, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2024-03-07].
Class (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-10-05].

[1] Thomas Jech: Set theory. The third millennium edition. „Springer Monographs in Mathematics”. Springer-Verlag, Berlin, 2003. ISBN 3-540-44085-2.

[2] John Kelley: General topology. 1976 (1955). ISBN 0-387-90125-6.

[3] Anthony Morse: A Theory of Sets. Academic Press, New York 1965.

[4] Wojciech Guzicki, Paweł Zbierski: Podstawy teorii mnogości, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa, 1978.

[1]

[2]

[3]

[4]