edytuj
Całkując funkcje wymierne funkcji trygonometrycznych (czyli funkcje postaci
R
(
sin
x
,
cos
x
)
{\displaystyle R(\sin x,\cos x)}
W ogólności stosować można zawsze tzw. podstawienie uniwersalne
t
=
tg
x
2
.
{\displaystyle t=\operatorname {tg} {\frac {x}{2}}.}
Jeśli funkcja jest nieparzysta ze względu na sinus
(
R
(
−
sin
x
,
cos
x
)
=
−
R
(
sin
x
,
cos
x
)
)
,
{\displaystyle (R(-\sin x,\cos x)=-R(\sin x,\cos x)),}
t
=
cos
x
{\displaystyle t=\cos x}
Jeśli funkcja jest nieparzysta ze względu na cosinus
(
R
(
sin
x
,
−
cos
x
)
=
−
R
(
sin
x
,
cos
x
)
)
,
{\displaystyle (R(\sin x,-\cos x)=-R(\sin x,\cos x)),}
t
=
sin
x
{\displaystyle t=\sin x}
Jeśli funkcja jest parzysta ze względu na sinus i cosinus równocześnie
(
R
(
−
sin
x
,
−
cos
x
)
=
R
(
sin
x
,
cos
x
)
)
,
{\displaystyle (R(-\sin x,-\cos x)=R(\sin x,\cos x)),}
t
=
tg
x
{\displaystyle t=\operatorname {tg} x}
Za pomocą jedynki trygonometrycznej oraz innych tożsamości trygonometrycznych można wyprowadzić czynniki zastępujące funkcje trygonometryczne, w szczególności w przypadku podstawienia uniwersalnego:
t
=
tg
x
2
{\displaystyle t=\operatorname {tg} {\frac {x}{2}}}
x
2
=
arctg
t
{\displaystyle {\frac {x}{2}}=\operatorname {arctg} t}
d
x
=
2
1
+
t
2
d
t
{\displaystyle dx={\frac {2}{1+t^{2}}}dt}
zachodzi:
sin
x
=
2
sin
x
2
cos
x
2
sin
2
x
2
+
cos
2
x
2
=
2
sin
x
2
cos
x
2
sin
2
x
2
cos
2
x
2
+
1
=
2
t
t
2
+
1
{\displaystyle \sin x={\frac {2\sin {\frac {x}{2}}\cos {\frac {x}{2}}}{\sin ^{2}{\frac {x}{2}}+\cos ^{2}{\frac {x}{2}}}}={\frac {2{\frac {\sin {\frac {x}{2}}}{\cos {\frac {x}{2}}}}}{{\frac {\sin ^{2}{\frac {x}{2}}}{\cos ^{2}{\frac {x}{2}}}}+1}}={\frac {2t}{t^{2}+1}}}
cos
x
=
cos
2
x
2
−
sin
2
x
2
cos
2
x
2
+
sin
2
x
2
=
1
−
sin
2
x
2
cos
2
x
2
1
+
sin
2
x
2
cos
2
x
2
=
1
−
t
2
1
+
t
2
{\displaystyle \cos x={\frac {\cos ^{2}{\frac {x}{2}}-\sin ^{2}{\frac {x}{2}}}{\cos ^{2}{\frac {x}{2}}+\sin ^{2}{\frac {x}{2}}}}={\frac {1-{\frac {\sin ^{2}{\frac {x}{2}}}{\cos ^{2}{\frac {x}{2}}}}}{1+{\frac {\sin ^{2}{\frac {x}{2}}}{\cos ^{2}{\frac {x}{2}}}}}}={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}}
W przypadku podstawienia
t
=
tg
x
{\displaystyle t=\operatorname {tg} x}
R
(
sin
2
x
,
cos
2
x
,
sin
x
cos
x
)
:
{\displaystyle R(\sin ^{2}x,\cos ^{2}x,\sin x\cos x){:}}
x
=
arctg
t
,
{\displaystyle x=\operatorname {arctg} t,}
d
x
=
d
t
1
+
t
2
{\displaystyle dx={\frac {dt}{1+t^{2}}}}
sin
2
x
=
sin
2
x
sin
2
x
+
cos
2
x
⋅
cos
2
x
cos
2
x
=
t
2
t
2
+
1
{\displaystyle \sin ^{2}x={\frac {\sin ^{2}x}{\sin ^{2}x+\cos ^{2}x}}\cdot {\frac {\cos ^{2}x}{\cos ^{2}x}}={\frac {t^{2}}{t^{2}+1}}}
cos
2
x
=
cos
2
x
sin
2
x
+
cos
2
x
⋅
cos
2
x
cos
2
x
=
1
t
2
+
1
{\displaystyle \cos ^{2}x={\frac {\cos ^{2}x}{\sin ^{2}x+\cos ^{2}x}}\cdot {\frac {\cos ^{2}x}{\cos ^{2}x}}={\frac {1}{t^{2}+1}}}
sin
x
cos
x
=
sin
x
cos
x
sin
2
x
+
cos
2
x
⋅
cos
2
x
cos
2
x
=
t
t
2
+
1
{\displaystyle \sin x\cos x={\frac {\sin x\cos x}{\sin ^{2}x+\cos ^{2}x}}\cdot {\frac {\cos ^{2}x}{\cos ^{2}x}}={\frac {t}{t^{2}+1}}}
Przykład zastosowania podstawienia uniwersalnego:
∫
d
x
1
+
sin
x
+
cos
x
=
∫
2
1
+
t
2
d
t
1
+
2
t
t
2
+
1
+
1
−
t
2
1
+
t
2
=
∫
2
d
t
1
+
t
2
+
2
t
+
1
−
t
2
=
{\displaystyle \int {\frac {dx}{1+\sin x+\cos x}}=\int {\frac {{\frac {2}{1+t^{2}}}dt}{1+{\frac {2t}{t^{2}+1}}+{\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}}}=\int {\frac {2dt}{1+t^{2}+2t+1-t^{2}}}=}
=
∫
d
t
t
+
1
=
ln
|
t
+
1
|
+
C
=
ln
|
tg
x
2
+
1
|
+
C
{\displaystyle =\int {\frac {dt}{t+1}}=\ln |t+1|+C=\ln |\operatorname {tg} {\frac {x}{2}}+1|+C}
Podstawienia Eulera stosuje się przy obliczaniu całek funkcji postaci
R
(
a
x
2
+
b
x
+
c
,
x
)
,
{\displaystyle R({\sqrt {ax^{2}+bx+c}},x),}
funkcją wymierną .
I podstawienie można stosować, gdy a>0. Przyjmuje się wtedy:
a
x
2
+
b
x
+
c
=
t
−
a
x
.
{\displaystyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}=t-{\sqrt {a}}\;x.}
a
x
2
+
b
x
+
c
=
a
x
2
−
2
a
x
t
+
t
2
⟹
x
(
b
+
2
a
t
)
=
t
2
−
c
⟹
x
=
t
2
−
c
b
+
2
a
t
,
{\displaystyle ax^{2}+bx+c=ax^{2}-2{\sqrt {a}}\;x\;t+t^{2}\implies x(b+2{\sqrt {a}}\;t)=t^{2}-c\implies x={\frac {t^{2}-c}{b+2{\sqrt {a}}\;t}},}
d
x
=
2
t
(
b
+
2
a
t
)
−
2
a
(
t
2
−
c
)
(
b
+
2
a
t
)
2
d
t
.
{\displaystyle dx={\frac {2t(b+2{\sqrt {a}}\;t)-2{\sqrt {a}}\;(t^{2}-c)}{(b+2{\sqrt {a}}\;t)^{2}}}dt.}
Zgodnie z przyjętym podstawieniem zachodzi:
a
x
2
+
b
x
+
c
=
a
c
−
t
2
b
+
2
a
t
+
t
.
{\displaystyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}={\sqrt {a}}\;{\frac {c-t^{2}}{b+2{\sqrt {a}}\;t}}+t.}
II podstawienie można stosować, gdy c>0. Przyjmuje się wtedy:
a
x
2
+
b
x
+
c
=
x
t
+
c
.
{\displaystyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}=xt+{\sqrt {c}}.}
Zachodzi:
a
x
2
+
b
x
+
c
=
x
2
t
2
+
2
c
x
t
+
c
⟹
a
x
+
b
=
x
t
2
+
2
c
t
⟹
x
(
a
−
t
2
)
=
2
c
t
−
b
⟹
x
=
2
c
t
−
b
a
−
t
2
,
{\displaystyle ax^{2}+bx+c=x^{2}t^{2}+2{\sqrt {c}}xt+c\implies ax+b=xt^{2}+2{\sqrt {c}}t\implies x(a-t^{2})=2{\sqrt {c}}t-b\implies x={\frac {2{\sqrt {c}}t-b}{a-t^{2}}},}
d
x
=
2
c
(
a
−
t
2
)
+
2
t
(
2
c
t
−
b
)
(
a
−
t
2
)
2
d
t
.
{\displaystyle dx={\frac {2{\sqrt {c}}(a-t^{2})+2t(2{\sqrt {c}}t-b)}{(a-t^{2})^{2}}}dt.}
Zgodnie z przyjętym podstawieniem otrzymuje się:
a
x
2
+
b
x
+
c
=
2
c
t
2
−
b
t
a
−
t
2
+
c
.
{\displaystyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}={\frac {2{\sqrt {c}}t^{2}-bt}{a-t^{2}}}+{\sqrt {c}}.}
Drugie podstawienie Eulera można zapisać następująco:
a
x
2
+
b
x
+
c
=
(
x
−
α
)
t
−
λ
.
{\displaystyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}=(x-\alpha )t-{\sqrt {\lambda }}.}
Wtedy gdy
(
a
>
0
)
∨
(
b
2
−
4
a
c
>
0
)
,
{\displaystyle (a>0)\vee (b^{2}-4ac>0),}
α
,
{\displaystyle \alpha ,}
λ
>
0.
{\displaystyle \lambda >0.}
III podstawienie Eulera
edytuj
III podstawienie można stosować, gdy istnieją dwa różne pierwiastki rzeczywiste x0 , x1 trójmianu
a
x
2
+
b
x
+
c
.
{\displaystyle ax^{2}+bx+c.}
a
x
2
+
b
x
+
c
=
a
(
x
−
x
0
)
(
x
−
x
1
)
=
t
(
x
−
x
1
)
.
{\displaystyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}={\sqrt {a(x-x_{0})(x-x_{1})}}=t(x-x_{1}).}
(
x
−
x
1
)
t
2
=
a
(
x
−
x
0
)
⟹
x
(
t
2
−
a
)
=
t
2
x
1
−
a
x
0
⟹
x
=
t
2
x
1
−
a
x
0
t
2
−
a
,
{\displaystyle (x-x_{1})t^{2}=a(x-x_{0})\implies x(t^{2}-a)=t^{2}x_{1}-ax_{0}\implies x={\frac {t^{2}x_{1}-ax_{0}}{t^{2}-a}},}
d
x
=
2
t
a
(
x
0
−
x
1
)
(
t
2
−
a
)
2
d
t
.
{\displaystyle dx={\frac {2ta(x_{0}-x_{1})}{(t^{2}-a)^{2}}}dt.}
Zgodnie z przyjętym podstawieniem zachodzi:
a
x
2
+
b
x
+
c
=
t
(
t
2
x
1
−
a
x
0
t
2
−
a
−
x
1
)
.
{\displaystyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}=t\left({\frac {t^{2}x_{1}-ax_{0}}{t^{2}-a}}-x_{1}\right).}
edytuj
Różniczka dwumienna jest to wyrażenie postaci:
x
m
(
a
+
b
x
n
)
p
d
x
,
{\displaystyle x^{m}(a+bx^{n})^{p}dx,}
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
liczbami rzeczywistymi oraz
m
,
n
{\displaystyle m,n}
p
{\displaystyle p}
liczbami wymiernymi . Niech ponadto
p
=
q
r
,
{\displaystyle p={\frac {q}{r}},}
q
,
r
{\displaystyle q,r}
całkowitymi . Twierdzenie Czebyszewa mówi, iż całkę
∫
x
m
(
a
+
b
x
n
)
p
d
x
{\displaystyle \int x^{m}(a+bx^{n})^{p}~dx}
można wyrazić za pomocą skończonej liczby funkcji elementarnych jedynie w trzech przypadkach:
gdy
p
{\displaystyle p}
gdy
m
+
1
n
{\displaystyle {\frac {m+1}{n}}}
t
=
a
+
b
x
n
r
.
{\displaystyle t={\sqrt[{r}]{a+bx^{n}}}.}
gdy
m
+
1
n
+
p
{\displaystyle {\frac {m+1}{n}}+p}
t
=
a
+
b
x
n
x
n
r
.
{\displaystyle t={\sqrt[{r}]{\frac {a+bx^{n}}{x^{n}}}}.}
Podstawienia trygonometryczne
edytuj
Poniższe typy całek można sprowadzić do całek funkcji wymiernych, których argumentami są funkcje trygonometryczne, przy pomocy podanych podstawień:
∫
R
(
x
,
x
2
+
a
2
)
d
x
{\displaystyle \int R(x,{\sqrt {x^{2}+a^{2}}})dx}
x
=
a
sinh
t
{\displaystyle x=a\sinh t}
x
=
a
tg
t
{\displaystyle x=a\operatorname {tg} t}
∫
R
(
x
,
x
2
−
a
2
)
d
x
{\displaystyle \int R(x,{\sqrt {x^{2}-a^{2}}})dx}
x
=
a
cosh
t
{\displaystyle x=a\cosh t}
x
=
a
sec
t
{\displaystyle x=a\sec t}
∫
R
(
x
,
a
2
−
x
2
)
d
x
{\displaystyle \int R(x,{\sqrt {a^{2}-x^{2}}})dx}
x
=
a
tgh
t
{\displaystyle x=a\operatorname {tgh} t}
x
=
a
sin
t
{\displaystyle x=a\sin t}
Całki typu
∫
R
(
e
x
)
d
x
{\displaystyle \int R(e^{x})dx}
e
x
=
t
.
{\displaystyle e^{x}=t.}
x
=
ln
t
,
d
x
=
d
t
t
.
{\displaystyle x=\ln {t},\quad dx={\frac {dt}{t}}.}
Całki typu
∫
R
(
x
,
(
a
x
+
b
c
x
+
d
)
p
1
,
(
a
x
+
b
c
x
+
d
)
p
2
,
…
,
(
a
x
+
b
c
x
+
d
)
p
n
)
d
x
,
{\displaystyle \int R\left(x,\left({\frac {ax+b}{cx+d}}\right)^{p_{1}},\left({\frac {ax+b}{cx+d}}\right)^{p_{2}},\dots ,\left({\frac {ax+b}{cx+d}}\right)^{p_{n}}\right)dx,}
1 , p2 , ..., pn są liczbami wymiernymi, sprowadzamy do całki funkcji wymiernej podstawiając
a
x
+
b
c
x
+
d
=
t
k
,
{\displaystyle {\frac {ax+b}{cx+d}}=t^{k},}
najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb p1 , p2 , ..., pn . 
![{\displaystyle [a;b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68e776d74130a8890a814c1f4e74372a9110d2f9)
![{\displaystyle t={\sqrt[{r}]{a+bx^{n}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/becb7bb1f8defca1f2fff0669285c852cba3e136)
![{\displaystyle t={\sqrt[{r}]{\frac {a+bx^{n}}{x^{n}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c8c36f3bdaf974fc1db34d3d717acc984b72b19)
Tomasz Drwięga, Podstawienia Eulera, serwis Open AGH, Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie, epodreczniki.open.agh.edu.pl [dostęp 2024-09-09].
Nagrania na YouTube [dostęp 2024-09-09]: