Funkcje parzyste i nieparzyste
Funkcje parzyste i nieparzyste – typy funkcji matematycznych cechujące się pewną symetrią przy zmianie znaku argumentu. Prowadzi to również do symetrii ich wykresów. Funkcja jest:
- parzysta, jeżeli spełnia równanie (symetria względem zmiany znaku argumentu)[1];
- nieparzysta, jeżeli spełnia równanie (symetria względem jednoczesnej zmiany znaku argumentu i wartości funkcji)[2].
Równania te muszą być prawdziwe dla wszystkich należących do dziedziny funkcji Powyższe równości wymagają, aby wraz z do dziedziny należał również punkt stąd dziedziny funkcji parzystych i nieparzystych muszą być symetryczne względem zera.
Przykłady
edytujIstnieją funkcje, które nie są ani parzyste, ani nieparzyste, np. niestała funkcja wykładnicza, a jedynymi funkcjami będącymi jednocześnie parzystymi i nieparzystymi są funkcje stałe równe zeru w każdym punkcie swojej dziedziny.
- Funkcje parzyste
- wartość bezwzględna
- funkcja potęgowa o parzystym wykładniku, gdzie
- funkcja trygonometryczna
- funkcja hiperboliczna
- wielomiany zawierające niezerowe współczynniki tylko przy parzystych potęgach zmiennej (np. ),
- funkcja sinc,
- funkcja Dirichleta,
- funkcja Weierstrassa,
- funkcje prostokątna i trójkątna.
- Funkcje nieparzyste
- funkcja liniowa (proporcjonalność prosta),
- funkcja potęgowa o nieparzystym wykładniku:
- funkcje trygonometryczne i
- funkcje hiperboliczne i
- wielomiany o niezerowych współczynnikach tylko przy nieparzystych potęgach zmiennej (np. ),
- funkcja signum,
- funkcja błędu Gaussa,
- funkcja Gudermanna,
- całka Fresnela.
Własności
edytuj- Jedyne różnowartościowe funkcje parzyste to funkcja pusta oraz funkcje określone jedynie w zerze[potrzebny przypis].
- Oba zbiory funkcji parzystych i funkcji nieparzystych ze standardowymi działaniami dodawania i mnożenia przez liczbę stanowią przestrzenie liniowe.
- Każdą funkcję dla której takie stwierdzenie ma sens, można przedstawić jako sumę funkcji parzystej i nieparzystej gdzie dla każdego z dziedziny
- oraz
- Przykładami powyższego rozkładu są oraz
- Niech będą funkcjami parzystymi, a funkcjami nieparzystymi. Wtedy:
- oraz (tam, gdzie określone) są funkcjami parzystymi,
- oraz (tam, gdzie jest określona) są funkcjami nieparzystymi,
- jest funkcją parzystą ( jest tu złożeniem funkcji),
- jest funkcją nieparzystą.
Wykresy
edytujWykres funkcji parzystej jest symetryczny względem osi a nieparzystej jest symetryczny względem początku układu współrzędnych. Jeśli należy do dziedziny nieparzystej funkcji to (wykres funkcji przechodzi przez początek układu współrzędnych).
Rozszerzenie na inne algebry
edytujZwykle pojęcia te stosuje się, gdy dziedziną funkcji jest podzbiór zbioru liczb rzeczywistych, czy w ogólności ciał. Definicje mają jednak sens także dla innych pierścieni, a nawet bardziej ogólnych grup.
Przypisy
edytuj- ↑ funkcja parzysta, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-11-17] .
- ↑ funkcja nieparzysta, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-11-17] .
Linki zewnętrzne
edytuj- Parzystość i nieparzystość funkcji, Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie, matematyka.zut.edu.pl [dostęp 20223-10-10].
- Zintegrowana Platforma Edukacyjna, zpe.gov.pl [dostęp 2024-06-13]:
- Justyna Biernacka, Funkcja parzysta i jej przykłady.
- Justyna Biernacka, Funkcja nieparzysta i jej przykłady.
- Beata Kuna, Własności funkcji złożonych.
- Piotr Stachura, Funkcje parzyste i nieparzyste, kanał Khan Academy na YouTube, 11 stycznia 2023 [dostęp 20223-10-10].
- Eric W. Weisstein , Even Function, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2023-10-10].
- Eric W. Weisstein , Odd Function, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2023-10-10].