Funkcja różniczkowalna

Funkcja różniczkowalna – funkcja, która ma pochodną w każdym punkcie swojej dziedziny i której wartość w każdym jej punkcie jest skończona (różna od $\infty$ i $-\infty$).

W szczególności funkcja pochodna danej funkcji określona jest w tej samej dziedzinie co funkcja.

Funkcja n-krotnie różniczkowalna

Definicja:

(1) Jeżeli funkcja $f$ ma pochodną $g\equiv f^{\,'}$ określoną w zbiorze $A$ oraz funkcja $g$ ma pochodną $h\equiv g^{\,'}$ określoną w zbiorze $B\subset A$ to mówimy, że

• $f$ jest dwukrotnie różniczkowalna w zbiorze $B,$
• funkcja $h$ jest drugą pochodną funkcji $f$ określoną na zbiorze $B.$

(2) Funkcję nazywa się $n$-krotnie różniczkowalną, jeżeli istnieje $n$ kolejnych pochodnych obliczonych z danej funkcji.

Funkcja klasy Cⁿ

Motywacja

Jeżeli dana funkcja jest różniczkowalna w całej dziedzinie, to nie oznacza automatycznie, że funkcja pochodna jest ciągła. Jeżeli funkcja pochodna jest ciągła, to o samej funkcji mówi się, że jest klasy $C^{1},$ w przeciwnym zaś razie o funkcji mówi się, że jest klasy $C^{0}.$ Czasem potrzebne jest wymaganie, by pochodna $n$-tego rzędu była ciągła – stąd ogólna definicja funkcji klasy $C^{n}.$

Uwaga powyższa dotyczy funkcji zmiennej rzeczywistej – w przypadku funkcji zmiennej zespolonej różniczkowalność automatycznie pociąga za sobą analityczność.

Definicja

(1) Funkcję $f$ określoną na przedziale $(a,b)$ nazywa się funkcją klasy $C^{n},$ gdzie $n=1,2,\dots ,$ jeżeli w przedziale $(a,b)$ ma $n$ ciągłych pochodnych.

(2) Funkcje klasy $C^{0}$ to funkcje ciągłe.

(3) Funkcje klasy $C^{\infty }$ (C-nieskończoność) to funkcje różniczkowalne dowolną liczbę razy. Klasę $C^{\infty }$ nazywa się też klasą funkcji gładkich.

Przykłady

• Funkcja klasy $C^{1}(\mathbb {R} )$ jest funkcją ciągłą, której pochodna też jest ciągła.
• Wielomiany, funkcje wykładnicze, sinus i cosinus, sinus hiperboliczny, cosinus hiperboliczny i tangens hiperboliczny, są funkcjami klasy $C^{\infty }(\mathbb {R} ).$
• Funkcja $f(x)=|x|$ jest klasy $C^{0}(\mathbb {R} ),$ ale nie klasy $C^{1}(\mathbb {R} ).$
• Funkcja dana wzorem:

$f(x)={\begin{cases}x^{3}\cdot \sin \left({\frac {1}{x}}\right),&\mathrm {gdy\ } x\neq 0,\\0,&\mathrm {gdy\ } x=0\end{cases}}$

jest klasy $C^{1}(\mathbb {R} ),$ ale nie jest klasy $C^{2}(\mathbb {R} ).$

Zobacz też

• funkcja całkowalna
• funkcja holomorficzna