Aproksymacja wielomianowa

Aproksymacja wielomianowa – metoda aproksymacji polegająca na przybliżeniu funkcji za pomocą wielomianu.

Przykładowe wielomiany różnych stopni

Sformułowanie problemu

edytuj

Wiemy, że dla pewnego zbioru punktów   funkcja przyjmuje wartości   Naszym celem jest znalezienie wielomianu w postaci[1]:

 
 

takiego, aby przybliżenie funkcji w punktach   było jak najlepsze. Funkcję oceny jakości wielomianu można zdefiniować w różny sposób, często stosowane kryteria to[2]:

Aproksymacja wielomianowa średniokwadratowa

edytuj

W aproksymacji średniokwadratowej wielomianowej funkcja błędu jest zdefiniowana następująco:

 

Współczynnik   jest ustaloną funkcją wagową. Najczęściej przyjmuje się, że funkcja wagowa zawsze przyjmuje wartość 1 – wówczas możemy ten czynnik pominąć[3].

Funkcja ta osiąga minimum w punkcie, w którym pochodne cząstkowe względem współczynników   są równe zero. W celu znalezienia tego minimum należy rozwiązać zatem układ równań[3]:

 

Po przekształceniach układ ten można sprowadzić do postaci[4]:

 

Układ ten można rozwiązać, stosując np. wzory Cramera lub metodę Gaussa-Seidla.

Stopień wielomianu

edytuj

Liczba współczynników wielomianu powinna być mniejsza od liczby punktów, które ma przybliżać funkcja   Dla   zawsze jest możliwe wyznaczenie wielomianu przechodzącego dokładnie przez podane punkty – wówczas problem sprowadza się do interpolacji wielomianowej[4].

Przypisy

edytuj

Bibliografia

edytuj