Zbiór wewnętrzny

Zbiór wewnętrzny – w logice matematycznej, w szczególności teorii modeli i analizie niestandardowej, zbiór będący elementem modelu.

Pojęcie zbioru wewnętrznego standowi narzędzie do sformułowania zasady przenoszenia, która dotyczy związków logicznych między właściwościami liczb rzeczywistych $\mathbb {R}$ a właściwościami większego ciała liczb hiperrzeczywistych ${\textrm {*}}\mathbb {R} .$ Ciało ${\text{*}}\mathbb {R}$ zawiera w szczególności liczby infinitezymalne (tj. „nieskończenie małe”), dając przy tym ścisłe uzasadnienie posiłkowania się nimi. Z grubsza rzecz ujmując, ich ideą jest wyrażenie analizy rzeczywistej w odpowiednim języku logiki matematycznej, a następnie wskazaniu, że ten sam język jest wygodnym sposobem opisu liczb hiperrzeczywistych. Okazuje się, że jest to możliwe: z punktu wiedzenia teorii zbiorów twierdzenia w takim języku interpretowane są jako stosowalne tylko w zakresie zbiorów wewnętrznych, a nie wszystkich zbiorów (słowo „język” użyte jest tu w sensie potocznym, jak wyżej).

Przykładem aksjomatycznego podejścia do analizy niestandardowej jest teoria zbiorów wewnętrznych Edwarda Nelsona (zob. również teoria Palmgrena w konstruktywnej analizie niestandardowej). Konwencjonalne ujęcia nieskończoności w analizie niestandardowej również wykorzystują pojęcie zbioru wewnętrznego.

Zbiory wewnętrzne w konstrukcji ultrapotęgowej

Zgodnie z konstrukcją ultrapotęgową liczb hiperrzeczywistych jako klas równoważności ciągów $\langle u_{n}\rangle ,$ zbiór wewnętrzny $[A_{n}]$ w ${\text{*}}\mathbb {R}$ jest zdefiniowany za pomocą ciągu zbiorów rzeczywistych $\langle A_{n}\rangle ,$ gdzie o liczbie hiperrzeczywistej $[u_{n}]$ mówi się, że należy do zbioru $[A_{n}]\subseteq {\text{*}}\mathbb {R}$ wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór indeksów $n,$ dla których $u_{n}\in A_{n},$ jest elementem ultrafiltru użytego w konstrukcji ${\text{*}}\mathbb {R} .$

Ogólniej, byt wewnętrzny jest elementem naturalnego rozszerzenia bytu rzeczywistego. Zatem dowolny element ${\text{*}}\mathbb {R}$ jest wewnętrzny; podzbiór ${\text{*}}\mathbb {R}$ jest wtedy i tylko wtedy, gdy jest elementem naturalnego rozszerzenia ${\text{*}}{\mathcal {P}}(\mathbb {R} ),$ czyli zbioru potęgowego ${\mathcal {P}}(\mathbb {R} )$ liczb rzeczywistych $\mathbb {R}$ itd.

Podzbiory wewnętrzne liczb rzeczywistych

Każdy podzbiór wewnętrzny $\mathbb {R}$ jest z konieczności skończony (tj. nie ma elementów nieskończonych, ale może mieć nieskończenie wiele elementów). Innymi słowy każdy nieskończony podzbiór wewnętrzny liczb hiperrzeczywistych zawiera koniecznie elementy niestandardowe.

Zobacz też

• funkcja części standardowej

Bibliografia

• Robert Goldblatt: Lectures on the hyperreals. An introduction to nonstandard analysis. T. 188. Nowy Jork: Springer-Verlag, 1998, seria: Graduate Texts in Mathematics. Brak numerów stron w książce
• Abraham Robinson: Non-standard analysis. Princeton University Press, 1996, seria: Princeton landmarks in mathematics and physics. ISBN 978-0-691-04490-3. Brak numerów stron w książce