Konstrukcja ciała liczb hiperrzeczywistych (ultrapotęga)
edytuj
Zbiór liczb hiperrzeczywistych można skonstruować metodą ultrapotęgi [a] [4] . Podstawową strukturą, poprzez którą dokonuje się tej konstrukcji, jest ultrafiltr , czyli rodzina
U
⊂
P
(
I
)
{\displaystyle U\subset {\mathcal {P}}(I)}
spełniająca warunki:
∅
∉
U
,
{\displaystyle \emptyset \notin U,}
A
,
B
∈
U
⇒
A
∩
B
∈
U
,
{\displaystyle A,B\in U\Rightarrow A\cap B\in U,}
(
A
∈
U
∧
A
⊂
B
)
⇒
B
∈
U
,
{\displaystyle (A\in U\wedge A\subset B)\Rightarrow B\in U,}
∀
A
⊂
I
(
A
∈
U
∨
I
∖
A
∈
U
)
{\displaystyle \forall _{A\subset I}{\big (}A\in U\vee I\setminus A\in U{\big )}}
[1] [5] [6] [7] .
Niech
U
{\displaystyle {\mathcal {U}}}
będzie ultrafiltrem na
N
{\displaystyle \mathbb {N} }
zawierającym filtr Frécheta
F
,
{\displaystyle {\mathfrak {F}},}
tzn. rodzinę
F
:=
{
N
⊆
N
:
#
(
N
∖
N
)
<
ℵ
0
}
{\displaystyle {\mathfrak {F}}:=\{N\subseteq \mathbb {N} :\#(\mathbb {N} \setminus N)<\aleph _{0}\}}
[1] [5] (Ultrafiltry nie zawierające filtru Frecheta są główne, czyli są generowane przez jeden punkt). Niech na produkcie
R
N
{\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}
będzie zdefiniowana dwuargumentowa relacja
≡
{\displaystyle \equiv }
w sposób następujący:
(
a
n
)
≡
(
b
n
)
:⟺
{
n
∈
N
:
a
n
=
b
n
}
∈
U
{\displaystyle (a_{n})\equiv (b_{n}):\Longleftrightarrow \{n\in \mathbb {N} :a_{n}=b_{n}\}\in {\mathcal {U}}}
[1] [4] [8] .
Jest to relacja równoważności [1] [4] [8] , ponieważ
≡
{\displaystyle \equiv }
jest:
zwrotna :
{
n
∈
N
:
a
n
=
a
n
}
=
N
∈
U
{\displaystyle \{n\in \mathbb {N} :a_{n}=a_{n}\}=\mathbb {N} \in {\mathcal {U}}}
[4] [8] ,
symetryczna :
{
n
∈
N
:
a
n
=
b
n
}
=
{
n
∈
N
:
b
n
=
a
n
}
{\displaystyle \{n\in \mathbb {N} :a_{n}=b_{n}\}=\{n\in \mathbb {N} :b_{n}=a_{n}\}}
[4] [8] ,
przechodnia :
{
n
∈
N
:
a
n
=
b
n
}
∈
U
∧
{
n
∈
N
:
b
n
=
c
n
}
∈
U
⇒
{
n
∈
N
:
a
n
=
b
n
}
∩
{
n
∈
N
:
b
n
=
c
n
}
∈
U
{\displaystyle \{n\in \mathbb {N} :a_{n}=b_{n}\}\in {\mathcal {U}}\wedge \{n\in \mathbb {N} :b_{n}=c_{n}\}\in {\mathcal {U}}\Rightarrow \{n\in \mathbb {N} :a_{n}=b_{n}\}\cap \{n\in \mathbb {N} :b_{n}=c_{n}\}\in {\mathcal {U}}}
[4] [8] .
Zbiór liczb hiperrzeczywistych definiuje się jako zbiór klas abstrakcji
R
∗
:=
R
N
/
≡
{\displaystyle \mathbb {R} ^{*}:=\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }/_{\equiv }}
[4] [8] .
Intuicyjnie liczby hiper-rzeczywiste uzyskujemy poprzez utożsamienie między sobą tych ciągów złożonych z liczb rzeczywistych, które zgadzają się na "odpowiednio" dużym zbiorze indeksów. Tzn. na zbiorze z rozważanego ultrafiltru:
a
≈
b
⇔
{
n
∈
N
:
a
n
=
b
n
}
∈
U
;
{\displaystyle a\approx b\,\Leftrightarrow \,\{n\in \mathbb {N} :a_{n}=b_{n}\}\in {\mathcal {U}};}
Ponieważ relacja
≡
{\displaystyle \equiv }
jest kongruencją względem zwykłych działań + i · na liczbach rzeczywistych, działania te przenoszą się w standardowy sposób na
R
∗
{\displaystyle \mathbb {R} ^{*}}
:
[
(
a
n
)
n
]
≡
⊕
[
(
b
n
)
n
]
≡
=
df
[
(
a
n
+
b
n
)
n
]
≡
{\displaystyle [(a_{n})_{n}]_{\equiv }\oplus [(b_{n})_{n}]_{\equiv }\,\mathop {=} ^{\text{df}}\,[(a_{n}+b_{n})_{n}]_{\equiv }}
[
(
a
n
)
n
]
≡
⊙
[
(
b
n
)
n
]
≡
=
df
[
(
a
n
⋅
b
n
)
n
]
≡
{\displaystyle [(a_{n})_{n}]_{\equiv }\odot [(b_{n})_{n}]_{\equiv }\,\mathop {=} ^{\text{df}}\,[(a_{n}\cdot b_{n})_{n}]_{\equiv }}
Struktura
R
=
df
⟨
R
∗
,
⊕
,
⊙
⟩
{\displaystyle {\mathcal {R}}^{\,}\mathop {=} ^{\text{df}}\,\langle \mathbb {R} ^{*},\oplus ,\odot \rangle }
jest ciałem.
Podciało tego ciała generowane przez elementy postaci
r
∗
=
df
[
(
r
,
r
,
r
,
r
,
…
)
]
≡
,
{\displaystyle r^{*}\,\mathop {=} ^{\text{df}}\,[(r,r,r,r,\dots )]_{\equiv }\,,\qquad }
dla
r
∈
R
{\displaystyle \;\;r\in \mathbb {R} }
,
jest izomorficzna z ciałem liczb rzeczywistych
R
=
df
⟨
R
,
+
,
⋅
⟩
{\displaystyle {\mathcal {R}}\,\mathop {=} ^{\text{df}}\,\langle \mathbb {R} ,+,\cdot \rangle }
[1] [9] [10]
Relacja
⪯
{\displaystyle \preceq }
zdefiniowana wzorem:
[
(
a
n
)
n
]
≡
⪯
[
(
b
n
)
n
]
≡
⇔
df
{
n
:
a
n
⩽
b
n
}
∈
U
{\displaystyle [(a_{n})_{n}]_{\equiv }\preceq [(b_{n})_{n}]_{\equiv }\;\mathop {\Leftrightarrow } ^{\text{df}}\;\{n:\;a_{n}\leqslant b_{n}\}\in {\mathcal {U}}}
jest porządkiem na
R
∗
{\displaystyle \mathbb {R} ^{*}}
. Porządek ten jest porządkiem ciągłym.
Liczba hiperrzeczywista
ε
>
0
∗
{\displaystyle \varepsilon >0^{*}}
jest nieskończenie mała , jeśli
ε
<
r
∗
{\displaystyle \varepsilon <r^{*}}
dla
r
∈
R
+
{\displaystyle r\in \mathbb {R} _{+}}
Nieskończenie małą jest, n.p.,
h
=
df
[
(
1
,
1
/
2
,
1
/
3
,
1
/
4
,
…
,
1
/
n
,
…
)
]
≡
{\displaystyle h\,\mathop {=} ^{\text{df}}\,[(1,1/2,1/3,1/4,\dots ,1/n,\dots )]_{\equiv }}
Oczywiście, skoro
1
/
n
>
0
{\displaystyle 1/n>0}
, dla
n
=
1
,
2
,
3
,
…
{\displaystyle n=1,2,3,\dots }
, to
h
>
0
∗
{\displaystyle h>0^{*}}
Jeśli teraz
r
>
0
{\displaystyle r>0}
, to
1
/
n
<
r
{\displaystyle 1/n<r}
dla wszystkich poza skończoną ilością liczb naturalnych, skąd
{
n
:
1
/
n
<
r
}
∈
U
{\displaystyle \{n:\,1/n<r\}\in {\mathcal {U}}}
co implikuje , że
h
<
r
∗
{\displaystyle h<r^{*}}
.
Odwrotności liczb nieskończenie małych, to nieskończenie duże liczby hiper-rzeczywiste.
Suma i iloczyn dwóch liczb nieskończenie małych jest nieskończenie mała. Suma i iloczyn dwóch nieskończenie dużych liczb hiper-rzeczywistych jest nieskończenie dużą liczbą hiper-rzeczywistą.
Uwaga.
W przypadku ultrafiltru głównego, uzyskana struktura byłaby izomorficzna z ciałem liczb rzeczywistych.
Działania na klasach abstrakcji zdefiniowane są poprzez działania na współrzędnych, tzn.:
[
(
a
n
)
]
⊕
[
(
b
n
)
]
:=
[
(
a
n
+
b
n
)
]
{\displaystyle [(a_{n})]\oplus [(b_{n})]:=[(a_{n}+b_{n})]}
[8] [9]
[
(
a
n
)
]
⊙
[
(
b
n
)
]
:=
[
(
a
n
⋅
b
n
)
]
{\displaystyle [(a_{n})]\odot [(b_{n})]:=[(a_{n}\cdot b_{n})]}
[8] [9] .
Działania
⊕
{\displaystyle \oplus }
i
⊙
{\displaystyle \odot }
są dobrze zdefiniowane na
R
∗
{\displaystyle \mathbb {R} ^{*}}
[8] .
Dowód
Niech
[
(
a
n
)
]
=
[
(
a
n
′
)
]
{\displaystyle [(a_{n})]=[(a_{n}')]}
oraz
[
(
b
n
)
]
=
[
(
b
n
′
)
]
.
{\displaystyle [(b_{n})]=[(b_{n}')].}
To znaczy, że
{
n
∈
N
:
a
n
=
a
n
′
}
∈
U
{\displaystyle \{n\in \mathbb {N} :a_{n}=a_{n}'\}\in {\mathcal {U}}}
i
{
n
∈
N
:
b
n
=
b
n
′
}
∈
U
.
{\displaystyle \{n\in \mathbb {N} :b_{n}=b_{n}'\}\in {\mathcal {U}}.}
Zatem
{
n
∈
N
:
a
n
=
a
n
′
}
∩
{
n
∈
N
:
b
n
=
b
n
′
}
∈
U
.
{\displaystyle \{n\in \mathbb {N} :a_{n}=a_{n}'\}\cap \{n\in \mathbb {N} :b_{n}=b_{n}'\}\in {\mathcal {U}}.}
Ponieważ
{
n
∈
N
:
a
n
=
a
n
′
}
∩
{
n
∈
N
:
b
n
=
b
n
′
}
⊂
{
n
∈
N
:
a
n
+
b
n
=
a
n
′
+
b
n
′
}
,
{\displaystyle \{n\in \mathbb {N} :a_{n}=a_{n}'\}\cap \{n\in \mathbb {N} :b_{n}=b_{n}'\}\subset \{n\in \mathbb {N} :a_{n}+b_{n}=a_{n}'+b_{n}'\},}
to
{
n
∈
N
:
a
n
+
b
n
=
a
n
′
+
b
n
′
}
∈
U
{\displaystyle \{n\in \mathbb {N} :a_{n}+b_{n}=a_{n}'+b_{n}'\}\in {\mathcal {U}}}
[8] .
Niech
[
(
a
n
)
]
=
[
(
a
n
′
)
]
{\displaystyle [(a_{n})]=[(a_{n}')]}
oraz
[
(
b
n
)
]
=
[
(
b
n
′
)
]
.
{\displaystyle [(b_{n})]=[(b_{n}')].}
To znaczy, że
{
n
∈
N
:
a
n
=
a
n
′
}
∈
U
{\displaystyle \{n\in \mathbb {N} :a_{n}=a_{n}'\}\in {\mathcal {U}}}
i
{
n
∈
N
:
b
n
=
b
n
′
}
∈
U
.
{\displaystyle \{n\in \mathbb {N} :b_{n}=b_{n}'\}\in {\mathcal {U}}.}
Zatem
{
n
∈
N
:
a
n
=
a
n
′
}
∩
{
n
∈
N
:
b
n
=
b
n
′
}
∈
U
.
{\displaystyle \{n\in \mathbb {N} :a_{n}=a_{n}'\}\cap \{n\in \mathbb {N} :b_{n}=b_{n}'\}\in {\mathcal {U}}.}
Ponieważ
{
n
∈
N
:
a
n
=
a
n
′
}
∩
{
n
∈
N
:
b
n
=
b
n
′
}
⊂
{
n
∈
N
:
a
n
⋅
b
n
=
a
n
′
⋅
b
n
′
}
,
{\displaystyle \{n\in \mathbb {N} :a_{n}=a_{n}'\}\cap \{n\in \mathbb {N} :b_{n}=b_{n}'\}\subset \{n\in \mathbb {N} :a_{n}\cdot b_{n}=a_{n}'\cdot b_{n}'\},}
to
{
n
∈
N
:
a
n
⋅
b
n
=
a
n
′
⋅
b
n
′
}
∈
U
{\displaystyle \{n\in \mathbb {N} :a_{n}\cdot b_{n}=a_{n}'\cdot b_{n}'\}\in {\mathcal {U}}}
[8] .
◻
{\displaystyle \square }
Struktura
(
R
∗
,
⊕
,
⊙
,
0
∗
,
1
∗
)
{\displaystyle (\mathbb {R} ^{*},\oplus ,\odot ,0^{*},1^{*})}
jest ciałem przemiennym [11] [12] .
Dowód
Zauważyć można, że:
{
n
∈
N
:
a
n
+
b
n
=
b
n
+
a
n
}
=
N
∈
U
{\displaystyle \{n\in \mathbb {N} :a_{n}+b_{n}=b_{n}+a_{n}\}=\mathbb {N} \in {\mathcal {U}}}
[11] ;
{
n
∈
N
:
(
a
n
+
b
n
)
+
c
n
=
a
n
+
(
b
n
+
c
n
)
}
=
N
∈
U
{\displaystyle \{n\in \mathbb {N} :(a_{n}+b_{n})+c_{n}=a_{n}+(b_{n}+c_{n})\}=\mathbb {N} \in {\mathcal {U}}}
[11] ;
[
(
a
n
)
]
⊕
0
∗
=
[
(
a
n
)
]
{\displaystyle [(a_{n})]\oplus 0^{*}=[(a_{n})]}
[11] ;
Niech
⊖
[
(
a
n
)
]
:=
[
(
−
a
n
)
]
;
{\displaystyle \ominus [(a_{n})]:=[(-a_{n})];}
wtedy
[
(
a
n
)
]
⊕
[
(
−
a
n
)
]
=
0
∗
{\displaystyle [(a_{n})]\oplus [(-a_{n})]=0^{*}}
[11] ;
{
n
∈
N
:
a
n
⋅
b
n
=
b
n
⋅
a
n
}
=
N
∈
U
{\displaystyle \{n\in \mathbb {N} :a_{n}\cdot b_{n}=b_{n}\cdot a_{n}\}=\mathbb {N} \in {\mathcal {U}}}
[11] ;
{
n
∈
N
:
(
a
n
⋅
b
n
)
⋅
c
n
=
a
n
⋅
(
b
n
⋅
c
n
)
}
=
N
∈
U
{\displaystyle \{n\in \mathbb {N} :(a_{n}\cdot b_{n})\cdot c_{n}=a_{n}\cdot (b_{n}\cdot c_{n})\}=\mathbb {N} \in {\mathcal {U}}}
[11] ;
[
(
a
n
)
]
⊙
1
∗
=
[
(
a
n
)
]
{\displaystyle [(a_{n})]\odot 1^{*}=[(a_{n})]}
[11] ;
Dla
[
(
a
n
)
]
≠
0
∗
{\displaystyle [(a_{n})]\neq 0^{*}}
niech
[
(
a
n
)
]
−
1
:=
[
(
i
n
)
]
,
{\displaystyle [(a_{n})]^{-1}:=[(i_{n})],}
gdzie
i
n
:=
{
a
n
−
1
,
d
l
a
a
n
≠
0
1
,
d
l
a
a
n
=
0
;
{\displaystyle i_{n}:={\begin{cases}a_{n}^{-1},&\mathrm {dla} \ a_{n}\neq 0\\1,&\mathrm {dla} \ a_{n}=0\end{cases}};}
wtedy
[
(
a
n
)
]
⊙
[
(
a
n
)
]
−
1
=
1
∗
{\displaystyle [(a_{n})]\odot [(a_{n})]^{-1}=1^{*}}
[11] [13] ;
{
n
∈
N
:
(
a
n
+
b
n
)
⋅
c
n
=
a
n
⋅
c
n
+
b
n
⋅
c
n
}
=
N
∈
U
{\displaystyle \{n\in \mathbb {N} :(a_{n}+b_{n})\cdot c_{n}=a_{n}\cdot c_{n}+b_{n}\cdot c_{n}\}=\mathbb {N} \in {\mathcal {U}}}
[11] .
◻
{\displaystyle \square }
(Nie)zależność konstrukcji od wyboru ultrafiltru
edytuj
Przy założeniu prawdziwości hipotezy continuum , konstrukcja ciała
R
∗
{\displaystyle \mathbb {R} ^{*}}
nie zależy od wyboru ultrafiltru, tzn. wszystkie otrzymane struktury będą izomorficzne niezależnie od wybranego ultrafiltra niegłównego[1] [14] . Jednak przy założeniu fałszywości hipotezy continuum, konstrukcja ciała liczb hiperrzeczywistych zależy od wyboru ultrafiltru[1] [14] .
Własności ciała uporządkowanego liczb hiperrzeczywistych
edytuj
Porządek liczb hiperrzeczywistych
edytuj
Niech będzie dana relacja
[
(
a
n
)
]
≺
[
(
b
n
)
]
:⇔
{
n
∈
N
:
a
n
<
b
n
}
∈
U
.
{\displaystyle [(a_{n})]\prec [(b_{n})]:\Leftrightarrow \{n\in \mathbb {N} :a_{n}<b_{n}\}\in {\mathcal {U}}.}
Jest ona dobrze zdefiniowana na
R
∗
{\displaystyle \mathbb {R} ^{*}}
[15] .
Dowód
Niech
[
(
a
n
)
]
=
[
(
a
n
′
)
]
,
{\displaystyle [(a_{n})]=[(a_{n}')],}
[
(
b
n
)
]
=
[
(
b
n
′
)
]
{\displaystyle [(b_{n})]=[(b_{n}')]}
i
[
(
a
n
)
]
≺
[
(
b
n
)
]
.
{\displaystyle [(a_{n})]\prec [(b_{n})].}
To znaczy, że
{
n
∈
N
:
a
n
=
a
n
′
}
∈
U
,
{\displaystyle \{n\in \mathbb {N} :a_{n}=a_{n}'\}\in {\mathcal {U}},}
{
n
∈
N
:
b
n
=
b
n
′
}
∈
U
{\displaystyle \{n\in \mathbb {N} :b_{n}=b_{n}'\}\in {\mathcal {U}}}
oraz
{
n
∈
N
:
a
n
<
b
n
}
∈
U
.
{\displaystyle \{n\in \mathbb {N} :a_{n}<b_{n}\}\in {\mathcal {U}}.}
Zatem
{
n
∈
N
:
a
n
=
a
n
′
}
∩
{
n
∈
N
:
b
n
=
b
n
′
}
∩
{
n
∈
N
:
a
n
<
b
n
}
∈
U
.
{\displaystyle \{n\in \mathbb {N} :a_{n}=a_{n}'\}\cap \{n\in \mathbb {N} :b_{n}=b_{n}'\}\cap \{n\in \mathbb {N} :a_{n}<b_{n}\}\in {\mathcal {U}}.}
Ponieważ
{
n
∈
N
:
a
n
=
a
n
′
}
∩
{
n
∈
N
:
b
n
=
b
n
′
}
∩
{
n
∈
N
:
a
n
<
b
n
}
⊂
{
n
∈
N
:
a
n
′
<
b
n
′
}
,
{\displaystyle \{n\in \mathbb {N} :a_{n}=a_{n}'\}\cap \{n\in \mathbb {N} :b_{n}=b_{n}'\}\cap \{n\in \mathbb {N} :a_{n}<b_{n}\}\subset \{n\in \mathbb {N} :a_{n}'<b_{n}'\},}
to
{
n
∈
N
:
a
n
′
<
b
n
′
}
∈
U
{\displaystyle \{n\in \mathbb {N} :a_{n}'<b_{n}'\}\in {\mathcal {U}}}
[15] .
◻
{\displaystyle \square }
Ciało liczb hiperrzeczywistych jest ciałem uporządkowanym
(
R
∗
,
⊕
,
⊙
,
0
∗
,
1
∗
,
≺
)
,
{\displaystyle (\mathbb {R} ^{*},\oplus ,\odot ,0^{*},1^{*},\prec ),}
z porządkiem zdefiniowanym następująco:
[
(
a
n
)
]
≺
[
(
b
n
)
]
:⇔
{
n
∈
N
:
a
n
<
b
n
}
∈
U
{\displaystyle [(a_{n})]\prec [(b_{n})]:\Leftrightarrow \{n\in \mathbb {N} :a_{n}<b_{n}\}\in {\mathcal {U}}}
[1] [9] [11] [12] [16] .
Dowód
Można wykazać, że każde dwie liczby hiperrzeczywiste są porównywalne w sensie prawa trychotomii. Niech
E
1
:=
{
n
∈
N
:
a
n
<
b
n
}
,
{\displaystyle E_{1}:=\{n\in \mathbb {N} :a_{n}<b_{n}\},}
E
2
:=
{
n
∈
N
:
a
n
>
b
n
}
,
{\displaystyle E_{2}:=\{n\in \mathbb {N} :a_{n}>b_{n}\},}
E
3
:=
{
n
∈
N
:
a
n
=
b
n
}
.
{\displaystyle E_{3}:=\{n\in \mathbb {N} :a_{n}=b_{n}\}.}
Widać, że
E
i
∩
i
≠
j
E
j
=
∅
{\displaystyle E_{i}\cap _{i\neq j}E_{j}=\emptyset }
oraz
E
1
∪
E
2
∪
E
3
=
N
∈
U
.
{\displaystyle E_{1}\cup E_{2}\cup E_{3}=\mathbb {N} \in {\mathcal {U}}.}
Stąd wynika, że
∃
!
i
∈
{
1
,
2
,
3
}
E
i
∈
U
,
{\displaystyle \exists !_{i\in \{1,2,3\}}\ E_{i}\in {\mathcal {U}},}
co dowodzi stwierdzenia[13] .
Można wykazać przechodniość relacji
≺
.
{\displaystyle \prec .}
Niech
[
(
a
n
)
]
≺
[
(
b
n
)
]
{\displaystyle [(a_{n})]\prec [(b_{n})]}
oraz
[
(
b
n
)
]
≺
[
(
c
n
)
]
.
{\displaystyle [(b_{n})]\prec [(c_{n})].}
Widać, że
{
n
∈
N
:
a
n
<
b
n
}
∈
U
{\displaystyle \{n\in \mathbb {N} :a_{n}<b_{n}\}\in {\mathcal {U}}}
oraz
{
n
∈
N
:
b
n
<
c
n
}
∈
U
,
{\displaystyle \{n\in \mathbb {N} :b_{n}<c_{n}\}\in {\mathcal {U}},}
a także, że
{
n
∈
N
:
a
n
<
b
n
}
∩
{
n
∈
N
:
b
n
<
c
n
}
⊂
{
n
∈
N
:
a
n
<
c
n
}
,
{\displaystyle \{n\in \mathbb {N} :a_{n}<b_{n}\}\cap \{n\in \mathbb {N} :b_{n}<c_{n}\}\subset \{n\in \mathbb {N} :a_{n}<c_{n}\},}
skąd wynika, że
{
n
∈
N
:
a
n
<
c
n
}
∈
U
,
{\displaystyle \{n\in \mathbb {N} :a_{n}<c_{n}\}\in {\mathcal {U}},}
czyli
[
(
a
n
)
]
≺
[
(
c
n
)
]
{\displaystyle [(a_{n})]\prec [(c_{n})]}
[13] .
Zatem relacja
≺
{\displaystyle \prec }
jest liniowym porządkiem [b] [17] [18] na
R
∗
.
{\displaystyle \mathbb {R} ^{*}.}
Poniżej wykazana jest zgodności tego porządku z działaniem addytywnym
⊕
{\displaystyle \oplus }
oraz multyplikatywnym
⊙
.
{\displaystyle \odot .}
Można wykazać zgodność porządku z dodawaniem, tzn.
(
[
(
a
n
)
]
≺
[
(
b
n
)
]
∧
[
(
c
n
)
]
≺
[
(
d
n
)
]
)
⟹
[
(
a
n
)
]
⊕
[
(
c
n
)
]
≺
[
(
b
n
)
]
⊕
[
(
d
n
)
]
.
{\displaystyle {\big (}[(a_{n})]\prec [(b_{n})]\wedge [(c_{n})]\prec [(d_{n})]{\big )}\Longrightarrow [(a_{n})]\oplus [(c_{n})]\prec [(b_{n})]\oplus [(d_{n})].}
Widać, że z poprzednika implikacji wynika, iż
E
1
:=
{
n
∈
N
:
a
n
<
b
n
}
∈
U
{\displaystyle E_{1}:=\{n\in \mathbb {N} :a_{n}<b_{n}\}\in {\mathcal {U}}}
oraz
E
2
:=
{
n
∈
N
:
c
n
<
d
n
}
∈
U
.
{\displaystyle E_{2}:=\{n\in \mathbb {N} :c_{n}<d_{n}\}\in {\mathcal {U}}.}
Ze zgodności naturalnego porządku z dodawaniem w ciele liczb rzeczywistych wynika, że
E
1
∩
E
2
⊂
{
n
∈
N
:
a
n
+
c
n
<
b
n
+
d
n
}
,
{\displaystyle E_{1}\cap E_{2}\subset \{n\in \mathbb {N} :a_{n}+c_{n}<b_{n}+d_{n}\},}
a skoro
E
1
∩
E
2
∈
U
,
{\displaystyle E_{1}\cap E_{2}\in {\mathcal {U}},}
to
{
n
∈
N
:
a
n
+
c
n
<
b
n
+
d
n
}
∈
U
{\displaystyle \{n\in \mathbb {N} :a_{n}+c_{n}<b_{n}+d_{n}\}\in {\mathcal {U}}}
[13] .
Można wykazać zgodność porządku z mnożeniem, tzn.
(
[
(
a
n
)
]
≺
[
(
b
n
)
]
∧
0
∗
≺
[
(
c
n
)
]
)
⟹
[
(
a
n
)
]
⊙
[
(
c
n
)
]
≺
[
(
b
n
)
]
⊙
[
(
c
n
)
]
.
{\displaystyle {\big (}[(a_{n})]\prec [(b_{n})]\wedge 0^{*}\prec [(c_{n})]{\big )}\Longrightarrow [(a_{n})]\odot [(c_{n})]\prec [(b_{n})]\odot [(c_{n})].}
Widać, że z poprzednika implikacji wynika, iż
E
1
:=
{
n
∈
N
:
a
n
<
b
n
}
∈
U
{\displaystyle E_{1}:=\{n\in \mathbb {N} :a_{n}<b_{n}\}\in {\mathcal {U}}}
oraz
E
2
:=
{
n
∈
N
:
0
<
c
n
}
∈
U
.
{\displaystyle E_{2}:=\{n\in \mathbb {N} :0<c_{n}\}\in {\mathcal {U}}.}
Ze zgodności naturalnego porządku z mnożeniem w ciele liczb rzeczywistych wynika, że
E
1
∩
E
2
⊂
{
n
∈
N
:
a
n
⋅
c
n
<
b
n
⋅
c
n
}
,
{\displaystyle E_{1}\cap E_{2}\subset \{n\in \mathbb {N} :a_{n}\cdot c_{n}<b_{n}\cdot c_{n}\},}
a skoro
E
1
∩
E
2
∈
U
,
{\displaystyle E_{1}\cap E_{2}\in {\mathcal {U}},}
to
{
n
∈
N
:
a
n
⋅
c
n
<
b
n
⋅
c
n
}
∈
U
{\displaystyle \{n\in \mathbb {N} :a_{n}\cdot c_{n}<b_{n}\cdot c_{n}\}\in {\mathcal {U}}}
[13] .
◻
{\displaystyle \square }
Moduł liczby hiperrzeczywistej
edytuj
Tak jak w każdym ciele uporządkowanym, tak i w ciele liczb hiperrzeczywistych, można zdefiniować moduł [19] jako
|
a
|
:=
{
a
,
dla
0
∗
⪯
a
⊖
a
,
dla
a
≺
0
∗
{\displaystyle |a|:={\begin{cases}a,&{\mbox{ dla }}0^{*}\preceq a\\\ominus a,&{\mbox{ dla }}a\prec 0^{*}\end{cases}}}
[20] .
Moduł liczby hiperrzeczywistej można utożsamić z klasą abstrakcji ciągu modułów, tzn.:
|
[
(
a
n
)
]
|
=
[
(
|
a
n
|
)
]
{\displaystyle |[(a_{n})]|=[(|a_{n}|)]}
[21] .
Ciało liczb hiperrzeczywistych jest niearchimedesowe , tzn. nie spełnia aksjomatu Archimedesa [12] [20] [22] .
Dowód
Można poczynić najpierw obserwację, że
{
n
∈
N
:
0
<
1
/
n
}
=
N
∈
U
,
{\displaystyle \{n\in \mathbb {N} :0<1/n\}=\mathbb {N} \in {\mathcal {U}},}
co oznacza, że
0
∗
≺
[
(
1
/
n
)
]
{\displaystyle 0^{*}\prec [(1/n)]}
[22] . Lecz ponieważ ciało liczb rzeczywistych jest archimedesowe , to
∀
r
∈
R
+
∃
n
0
∈
N
∀
n
>
n
0
1
/
n
<
r
,
{\displaystyle \forall _{r\in \mathbb {R} _{+}}\exists _{n_{0}\in \mathbb {N} }\forall _{n>n_{0}}\ 1/n<r,}
skąd wynika, że
E
:=
{
n
0
+
i
}
i
=
1
∞
⊂
{
n
∈
N
:
1
/
n
<
r
}
{\displaystyle E:=\{n_{0}+i\}_{i=1}^{\infty }\subset \{n\in \mathbb {N} :1/n<r\}}
[22] . Zbiór
E
{\displaystyle E}
należy do ultrafiltru
U
,
{\displaystyle {\mathcal {U}},}
zatem
{
n
∈
N
:
1
/
n
<
r
}
∈
U
{\displaystyle \{n\in \mathbb {N} :1/n<r\}\in {\mathcal {U}}}
[22] . Zatem:
∀
r
∈
R
+
0
∗
≺
[
(
1
/
n
)
]
≺
r
∗
,
{\displaystyle \forall _{r\in \mathbb {R} _{+}}\ 0^{*}\prec [(1/n)]\prec r^{*},}
co znaczy, że ciało to nie spełnia aksjomatu Archimedesa[22] .
◻
{\displaystyle \square }
Ciało liczb hiperrzeczywistych spełnia jednak pewne zmodyfikowane równoważniki aksjomatu Archimedesa, jak np.:
∀
r
∈
R
∗
∃
n
∈
N
∗
r
≺
n
{\displaystyle \forall _{r\in \mathbb {R} ^{*}}\exists _{n\in \mathbb {N} ^{*}}\ r\prec n}
[20] [23] .
Rzeczywista domkniętość
edytuj
Ciało liczb hiperrzeczywistych
(
R
∗
,
⊕
,
⊙
,
0
∗
,
1
∗
,
≺
)
{\displaystyle (\mathbb {R} ^{*},\oplus ,\odot ,0^{*},1^{*},\prec )}
jest rzeczywiście domknięte [24] .
Zupełność w sensie Cauchy’ego
edytuj
Ciało liczb hiperrzeczywistych
(
R
∗
,
⊕
,
⊙
,
0
∗
,
1
∗
,
≺
)
{\displaystyle (\mathbb {R} ^{*},\oplus ,\odot ,0^{*},1^{*},\prec )}
jest zupełne w sensie Cauchy’ego [25] , tzn.:
∀
(
a
n
)
n
∈
N
⊂
R
∗
(
∀
ε
∈
R
+
∗
∃
k
∀
n
>
k
[
|
a
n
⊖
a
k
|
≺
ε
]
⟹
∃
k
∀
n
>
k
[
a
n
=
a
k
]
)
{\displaystyle \forall _{(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\subset \mathbb {R} ^{*}}{\Big (}\forall _{\varepsilon \in \mathbb {R} _{+}^{*}}\exists _{k}\forall _{n>k}\ {\big [}|a_{n}\ominus a_{k}|\prec \varepsilon {\big ]}\Longrightarrow \exists _{k}\forall _{n>k}\ [a_{n}=a_{k}]{\Big )}}
[25] .
Dowód[25]
Rozważyć można przypadek szczególny, a mianowicie ciąg różnowartościowy
(
a
n
)
.
{\displaystyle (a_{n}).}
Rodzinę przedziałów otwartych
{
(
0
,
|
a
i
⊖
a
j
|
)
:
i
,
j
∈
N
∧
i
≠
j
}
{\displaystyle \{(0,|a_{i}\ominus a_{j}|):i,j\in \mathbb {N} \wedge i\neq j\}}
można uporządkować malejąco relacją inkluzji:
(
0
,
r
n
+
1
)
⊂
(
0
,
r
n
)
,
{\displaystyle (0,r_{n+1})\subset (0,r_{n}),}
gdzie
r
k
:=
|
a
i
⊖
a
j
|
.
{\displaystyle r_{k}:=|a_{i}\ominus a_{j}|.}
Ponieważ
⋂
{
(
0
,
r
n
)
:
n
∈
N
}
≠
∅
{\displaystyle \bigcap \{(0,r_{n}):n\in \mathbb {N} \}\neq \emptyset }
[c] , to
∃
r
r
∈
⋂
{
(
0
,
r
n
)
:
n
∈
N
}
.
{\displaystyle \exists _{r}\ r\in \bigcap \{(0,r_{n}):n\in \mathbb {N} \}.}
Niech
ε
:=
r
4
.
{\displaystyle \varepsilon :={\frac {r}{4}}.}
Wtedy istnieje takie
k
,
{\displaystyle k,}
że dla
n
,
m
>
k
,
{\displaystyle n,m>k,}
n
≠
m
{\displaystyle n\neq m}
zachodzi:
|
a
n
⊖
a
m
|
≺
r
2
,
{\displaystyle |a_{n}\ominus a_{m}|\prec {\frac {r}{2}},}
co stoi w sprzeczności z definicją liczby
r
.
{\displaystyle r.}
Niech
(
a
n
)
{\displaystyle (a_{n})}
będzie dowolnym ciągiem spełniającym warunek Cauchy’ego , wówczas zbiór
{
a
n
}
{\displaystyle \{a_{n}\}}
może być skończony lub nieskończony. W tym pierwszym przypadku ciąg ten od pewnego miejsca jest ciągiem stałym . Gdy jest nieskończony, to istnieje różnowartościowy podciąg
(
a
n
k
)
,
{\displaystyle (a_{n_{k}}),}
który jest ciągiem Cauchy’ego, co doprowadza do sprzeczności, jak pokazano wcześniej.
◻
{\displaystyle \square }
Szczególne podstruktury ciała liczb hiperrzeczywistych
edytuj
Zbiór liczb ograniczonych
L
{\displaystyle \mathbb {L} }
definiuje się następująco:
L
:=
{
x
∈
R
∗
:
∃
n
∈
N
|
x
|
≺
n
∗
}
{\displaystyle \mathbb {L} :=\{x\in \mathbb {R} ^{*}:\exists _{n\in \mathbb {N} }\ |x|\prec n^{*}\}}
[20] [26] .
Struktura
(
L
,
⊕
,
⊙
,
0
∗
,
1
∗
)
{\displaystyle (\mathbb {L} ,\oplus ,\odot ,0^{*},1^{*})}
jest pierścieniem [20] [27] .
Liczby nieskończenie małe
edytuj
Zbiór liczb nieskończenie małych
Ω
{\displaystyle \Omega }
definiuje się następująco:
Ω
:=
{
x
∈
R
∗
:
∀
n
∈
N
|
x
|
≺
(
1
/
n
)
∗
}
{\displaystyle \Omega :=\{x\in \mathbb {R} ^{*}:\forall _{n\in \mathbb {N} }\ |x|\prec (1/n)^{*}\}}
[26] .
Równoważnie, liczby nieskończenie małe można zdefiniować jako:
Ω
=
{
x
∈
R
∗
:
∀
r
∈
R
+
|
x
|
≺
r
∗
}
{\displaystyle \Omega =\{x\in \mathbb {R} ^{*}:\forall _{r\in \mathbb {R} _{+}}\ |x|\prec r^{*}\}}
[20] [26] ,
tzn. są to liczby na moduł mniejsze od każdej dodatniej liczby rzeczywistej.
Zbiór
Ω
{\displaystyle \Omega }
jest różny od
{
0
}
,
{\displaystyle \{0\},}
ponieważ należy do niego np. liczba
[
(
1
/
n
)
n
=
1
∞
]
{\displaystyle [(1/n)_{n=1}^{\infty }]}
[15] [20] .
Struktura
(
Ω
,
⊕
,
0
∗
)
{\displaystyle (\Omega ,\oplus ,0^{*})}
jest grupą [27] , a
(
Ω
,
⊕
,
⊙
,
0
∗
)
{\displaystyle (\Omega ,\oplus ,\odot ,0^{*})}
jest pierścieniem [20] .
W zbiorze
Ω
{\displaystyle \Omega }
nie ma liczby ani największej, ani najmniejszej [20] .
Liczby nieskończenie duże
edytuj
Zbiór liczb nieskończenie dużych
Ψ
{\displaystyle \Psi }
definiuje się następująco:
Ψ
:=
{
x
∈
R
∗
:
∀
n
∈
N
|
x
|
≻
n
∗
}
{\displaystyle \Psi :=\{x\in \mathbb {R} ^{*}:\forall _{n\in \mathbb {N} }\ |x|\succ n^{*}\}}
[26] .
Zbiór
Ψ
{\displaystyle \Psi }
jest niepusty, ponieważ należy do niego np. liczba
[
(
n
)
n
=
1
∞
]
{\displaystyle [(n)_{n=1}^{\infty }]}
[15] .
W naturalny sposób definiuje się takie podzbiory, jak np.
liczby hipernaturalne (niestandardowe liczby naturalne ):
N
∗
:=
{
[
(
a
n
)
]
∈
R
∗
:
{
n
∈
N
:
a
n
∈
N
}
∈
U
}
{\displaystyle \mathbb {N} ^{*}:=\{[(a_{n})]\in \mathbb {R} ^{*}:\{n\in \mathbb {N} :a_{n}\in \mathbb {N} \}\in {\mathcal {U}}\}}
[d] [1] [28] ;
nieskończenie duże liczby hipernaturalne :
N
∞
:=
N
∗
∖
N
,
{\displaystyle \mathbb {N} _{\infty }:=\mathbb {N} ^{*}\setminus \mathbb {N} ,}
gdzie
N
{\displaystyle \mathbb {N} }
rozumie się jako
{
n
∗
:
n
∈
N
}
{\displaystyle \{n^{*}:n\in \mathbb {N} \}}
[29] [30] .
liczby hiperwymierne (niestandardowe liczby wymierne ):
Q
∗
:=
{
[
(
a
n
)
]
∈
R
∗
:
{
n
∈
N
:
a
n
∈
Q
}
∈
U
}
{\displaystyle \mathbb {Q} ^{*}:=\{[(a_{n})]\in \mathbb {R} ^{*}:\{n\in \mathbb {N} :a_{n}\in \mathbb {Q} \}\in {\mathcal {U}}\}}
[e] [1] [28] .
Można wykazać pewną intuicyjną własność nieskończenie dużych liczb hipernaturalnych, a mianowicie dla
K
∈
N
∗
:
{\displaystyle K\in \mathbb {N} ^{*}{:}}
K
∈
N
∞
⇔
∀
k
∈
N
k
∗
≺
K
{\displaystyle K\in \mathbb {N} _{\infty }\Leftrightarrow \forall _{k\in \mathbb {N} }\ k^{*}\prec K}
[29] ,
czyli nieskończenie duże liczby hipernaturalne to takie liczby hipernaturalne, które są większe od każdej liczby naturalnej .
Związki między strukturami
edytuj
Można udowodnić, że
∀
x
∈
Ω
∀
y
∈
L
x
⊙
y
∈
Ω
,
{\displaystyle \forall _{x\in \Omega }\forall _{y\in \mathbb {L} }\ x\odot y\in \Omega ,}
co znaczy, że grupa liczb nieskończenie małych jest ideałem w pierścieniu liczb ograniczonych[20] [27] . Co więcej, jest to ideał maksymalny [27] [31] , więc struktura ilorazowa
L
/
Ω
{\displaystyle \mathbb {L} /_{\Omega }}
jest ciałem[31] [32] . Ciało
L
/
Ω
{\displaystyle \mathbb {L} /_{\Omega }}
jest izomorficzne z ciałem liczb rzeczywistych
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
[31] [32] .
Można również zauważyć, że:
liczba odwrotna do niezerowej liczby nieskończenie małej jest liczbą nieskończenie dużą[33] ;
liczba odwrotna do liczby nieskończenie dużej jest nieskończenie mała[33] ;
suma liczby nieskończenie dużej i nieskończenie małej jest nieskończenie duża[33] ;
iloczyn liczby nieskończenie małej i ograniczonej jest nieskończenie mały[33] ;
iloczyn liczby nieskończenie dużej i ograniczonej jest nieskończenie duży[33] .
Warto zauważyć związek:
L
=
⋃
r
∈
R
r
∗
⊕
Ω
{\displaystyle \mathbb {L} =\bigcup _{r\in \mathbb {R} }r^{*}\oplus \Omega }
[32] . To znaczy, że dla
a
∈
L
{\displaystyle a\in \mathbb {L} }
zachodzi związek
a
=
st
(
a
)
+
ω
{\displaystyle a={\mbox{st}}(a)+\omega }
dla pewnej
ω
∈
Ω
{\displaystyle \omega \in \Omega }
[10] .
Niech dla liczby
a
∈
L
{\displaystyle a\in \mathbb {L} }
będzie dana
μ
(
a
)
:=
{
x
∈
L
:
a
≈
x
}
{\displaystyle \mu (a):=\{x\in \mathbb {L} :a\thickapprox x\}}
[10] . Zbiór
μ
(
a
)
{\displaystyle \mu (a)}
nazywa się monadą [10] . Zbiór liczb ograniczonych można zapisać jako sumę nieprzeliczalnie wielu monad rzeczywistych:
L
=
⋃
r
∈
R
μ
(
r
)
{\displaystyle \mathbb {L} =\bigcup _{r\in \mathbb {R} }\mu (r)}
[10] .
Inne struktury arytmetyczne i analityczne dla liczb hiperrzeczywistych
edytuj
Działania na standardowych liczbach hiperrzeczywistych
edytuj
Można zauważyć pewne pożądane własności dla standardowych liczb hiperrzeczywistych, np.:
(
a
+
b
)
∗
=
a
∗
⊕
b
∗
,
{\displaystyle (a+b)^{*}=a^{*}\oplus b^{*},}
dla
a
,
b
∈
R
;
{\displaystyle a,b\in \mathbb {R} ;}
(
a
⋅
b
)
∗
=
a
∗
⊙
b
∗
,
{\displaystyle (a\cdot b)^{*}=a^{*}\odot b^{*},}
dla
a
,
b
,
∈
R
;
{\displaystyle a,b,\in \mathbb {R} ;}
(
a
∗
)
−
1
=
(
a
−
1
)
∗
,
{\displaystyle (a^{*})^{-1}=(a^{-1})^{*},}
dla
a
∈
R
∖
{
0
}
{\displaystyle a\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}
[21] .
Relacja nieskończonej bliskości
edytuj
W zbiorze liczb hiperrzeczywistych można zdefiniować dwuargumentową relację nieskończonej bliskości , a mianowicie:
∀
x
,
y
∈
R
∗
x
≈
y
:⟺
x
⊖
y
∈
Ω
{\displaystyle \forall _{x,y\in \mathbb {R} ^{*}}\ x\thickapprox y:\Longleftrightarrow x\ominus y\in \Omega }
[31] [32] [33] .
To znaczy, że dwie liczby hiperrzeczywiste są nieskończenie bliskie, gdy ich różnica jest liczbą nieskończenie małą[32] [33] . Relacja
≈
{\displaystyle \thickapprox }
jest relacją równoważności[31] [32] [33] .
Nie istnieją dwie różne liczby rzeczywiste nieskończenie bliskie sobie[33] .
Dowód
Niech
a
,
b
∈
R
,
{\displaystyle a,b\in \mathbb {R} ,}
a
≠
b
{\displaystyle a\neq b}
oraz
a
∗
≈
b
∗
.
{\displaystyle a^{*}\thickapprox b^{*}.}
Zauważmy, że
∃
r
∈
R
r
≠
0
∧
a
−
b
=
r
.
{\displaystyle \exists _{r\in \mathbb {R} }\ r\neq 0\wedge a-b=r.}
Lecz
r
∗
∉
Ω
,
{\displaystyle r^{*}\notin \Omega ,}
zatem
a
≉
b
;
{\displaystyle a\not \thickapprox b;}
sprzeczność[33] .
◻
{\displaystyle \square }
Twierdzenie o części standardowej
edytuj
Prawdą jest, że nieskończenie blisko liczby hiperrzeczywistej ograniczonej znajduje się dokładnie jedna liczba standardowa, tzn.:
∀
a
∈
L
∃
!
r
∈
R
a
≈
r
∗
{\displaystyle \forall _{a\in \mathbb {L} }\ \exists !_{r\in \mathbb {R} }\ a\thickapprox r^{*}}
[32] [34] .
Dzięki temu twierdzeniu można dobrze zdefiniować część standardową liczby hiperrzeczywistej[32] [34] , którą można oznaczyć np. jako
st
(
a
)
{\displaystyle {\mbox{st}}(a)}
[10] [35] . Tzn. część standardowa
st
(
a
)
{\displaystyle {\mbox{st}}(a)}
liczby ograniczonej
a
{\displaystyle a}
to liczba spełniająca relację:
(
st
(
a
)
)
∗
≈
a
{\displaystyle ({\mbox{st}}(a))^{*}\thickapprox a}
[35] .
Rozszerzone ciągi i funkcje
edytuj
Dowolną funkcję rzeczywistą
f
:
R
→
R
{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }
można rozszerzyć do funkcji hiperrzeczywistej
f
∗
:
R
∗
→
R
∗
,
{\displaystyle f^{*}\colon \mathbb {R} ^{*}\to \mathbb {R} ^{*},}
jako klasę abstrakcji ciągu obrazów:
f
∗
(
[
(
a
n
)
]
)
:=
[
(
f
(
a
n
)
)
]
{\displaystyle f^{*}([(a_{n})]):=[(f(a_{n}))]}
[30] [36] [37] .
Zauważmy, że „zwykłe” funkcje rzeczywiste w tej definicji pozostaną „zwykłe”:
f
∗
(
x
∗
)
=
[
(
f
(
x
)
)
]
=
(
f
(
x
)
)
∗
{\displaystyle f^{*}(x^{*})=[(f(x))]=(f(x))^{*}}
[30] [36] .
Dowolny ciąg liczb rzeczywistych
(
a
n
)
⊂
R
{\displaystyle (a_{n})\subset \mathbb {R} }
można rozszerzyć do ciągu hiperrzeczywistego
(
a
K
)
⊂
R
∗
,
{\displaystyle (a_{K})\subset \mathbb {R} ^{*},}
jako funkcję:
N
∗
∋
K
↦
r
K
∈
R
∗
{\displaystyle \mathbb {N} ^{*}\ni K\mapsto r_{K}\in \mathbb {R} ^{*}}
[f] [29] [30] [37] .
Ciąg rzeczywisty
(
a
n
)
{\displaystyle (a_{n})}
jest ciągiem Cauchy’ego
⟺
∀
K
,
L
∈
N
∞
a
K
∗
≈
a
L
∗
{\displaystyle \Longleftrightarrow \forall _{K,L\in \mathbb {N} _{\infty }}\ a_{K}^{*}\thickapprox a_{L}^{*}}
[38] .
Punkt
s
{\displaystyle s}
jest punktem skupienia ciągu
(
a
n
)
{\displaystyle (a_{n})}
⟺
∃
K
∈
N
∞
a
K
∗
≈
s
{\displaystyle \Longleftrightarrow \exists _{K\in \mathbb {N} _{\infty }}\ a_{K}^{*}\thickapprox s}
[38] .
Funkcja
f
:
R
→
R
{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }
jest ciągła w punkcie
x
0
∈
R
,
{\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ,}
gdy
∀
x
∈
R
∗
x
≈
x
0
∗
⇒
f
∗
(
x
)
≈
f
∗
(
x
0
∗
)
{\displaystyle \forall _{x\in \mathbb {R} ^{*}}\ x\thickapprox x_{0}^{*}\Rightarrow f^{*}(x)\thickapprox f^{*}(x_{0}^{*})}
[38] [39] [40] .
Przykład
Funkcja
f
(
x
)
=
x
2
{\displaystyle f(x)=x^{2}}
jest ciągła w każdym punkcie[41] .
Niech
x
0
{\displaystyle x_{0}}
będzie ustalonym dowolnie punktem oraz niech będzie dany
x
{\displaystyle x}
taki, że
x
∗
≈
x
0
∗
{\displaystyle x^{*}\thickapprox x_{0}^{*}}
[41] . Zatem
∃
ω
∈
Ω
x
=
x
0
⊕
ω
{\displaystyle \exists _{\omega \in \Omega }\ x=x_{0}\oplus \omega }
[41] . Zatem:
f
∗
(
x
∗
)
=
f
∗
(
x
0
∗
⊕
ω
)
=
(
x
0
∗
)
2
⊕
2
x
0
∗
ω
⊕
ω
2
{\displaystyle f^{*}(x^{*})=f^{*}(x_{0}^{*}\oplus \omega )=(x_{0}^{*})^{2}\oplus 2x_{0}^{*}\omega \oplus \omega ^{2}}
[41] .
Zatem:
f
∗
(
x
∗
)
⊖
f
∗
(
x
0
∗
)
=
ω
⊙
(
2
x
0
∗
⊕
ω
)
,
{\displaystyle f^{*}(x^{*})\ominus f^{*}(x_{0}^{*})=\omega \odot (2x_{0}^{*}\oplus \omega ),}
co jest iloczynem liczby nieskończenie małej i sumy liczb nieskoczenie małej i ograniczonej, czyli iloczynem liczby nieskończenie małej i ograniczonej, czyli liczbą nieskończenie małą[41] . Zatem
f
∗
(
x
∗
)
≈
f
∗
(
x
0
∗
)
{\displaystyle f^{*}(x^{*})\thickapprox f^{*}(x_{0}^{*})}
[41] .
◻
{\displaystyle \square }
W ciele liczb hiperrzeczywistych można zinterpretować pojęcie granicy ciągu , a mianowicie:
∀
(
r
n
)
⊂
R
∀
g
∈
R
lim
n
→
∞
r
n
=
g
⟺
∀
K
∈
N
∞
r
K
≈
g
∗
{\displaystyle \forall _{(r_{n})\subset \mathbb {R} }\forall _{g\in \mathbb {R} }\ \lim _{n\to \infty }r_{n}=g\Longleftrightarrow \forall _{K\in \mathbb {N} _{\infty }}\ r_{K}\thickapprox g^{*}}
[36] [38] .
Niech
f
:
R
→
R
{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }
i niech
P
∈
R
.
{\displaystyle P\in \mathbb {R} .}
Wtedy:
f
′
(
x
0
)
=
P
⟺
∀
ε
∈
Ω
∧
ε
≠
0
∗
P
∗
≈
f
∗
(
x
0
∗
⊕
ε
)
⊖
f
∗
(
x
0
∗
)
ε
{\displaystyle f'(x_{0})=P\Longleftrightarrow \forall _{\varepsilon \in \Omega \wedge \varepsilon \neq 0^{*}}\ P^{*}\thickapprox {\frac {f^{*}(x_{0}^{*}\oplus \varepsilon )\ominus f^{*}(x_{0}^{*})}{\varepsilon }}}
[38] [39] [42] ,
co inaczej można zapisać:
f
′
(
x
0
)
=
st
(
f
∗
(
x
0
∗
⊕
ε
)
⊖
f
∗
(
x
0
∗
)
ε
)
{\displaystyle f'(x_{0})={\mbox{st}}\left({\frac {f^{*}(x_{0}^{*}\oplus \varepsilon )\ominus f^{*}(x_{0}^{*})}{\varepsilon }}\right)}
[42] .
Przykład
Dla
f
(
x
)
=
x
2
{\displaystyle f(x)=x^{2}}
w dowolnym punkcie istnieje pochodna i
f
′
(
x
)
=
2
x
{\displaystyle f'(x)=2x}
[42] .
f
∗
(
x
∗
⊕
ε
)
⊖
f
∗
(
x
∗
)
ε
=
(
x
⊕
ε
)
2
⊖
x
2
ε
=
2
x
⊕
ε
≈
2
x
◻
{\displaystyle {\frac {f^{*}(x^{*}\oplus \varepsilon )\ominus f^{*}(x^{*})}{\varepsilon }}={\frac {(x\oplus \varepsilon )^{2}\ominus x^{2}}{\varepsilon }}=2x\oplus \varepsilon \thickapprox 2x\ \ \square }
[42]
↑ Przedstawiona tu konstrukcja zbioru liczb hiperrzeczywistych jako
R
N
/
U
,
{\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }/_{\mathcal {U}},}
gdzie
U
{\displaystyle {\mathcal {U}}}
jest ultrafiltrem zawierającym filtr Frécheta, jest szczególnym przypadkiem ogólniejszej konstrukcji:
X
I
/
U
,
{\displaystyle X^{I}/_{\mathfrak {U}},}
gdzie
X
{\displaystyle X}
i
I
{\displaystyle I}
są nieskończonymi zbiorami, a
U
{\displaystyle {\mathfrak {U}}}
jest ultrafiltrem niegłównym.
↑ Przy tym stwierdzeniu skorzystano z następującej definicji liniowego porządku:
<
{\displaystyle <}
jest liniowym porządkiem na
F
,
{\displaystyle \mathbb {F} ,}
gdy relacja
<
{\displaystyle <}
jest przechodnia oraz
∀
x
,
y
∈
F
x
<
y
∨
_
x
=
y
∨
_
x
>
y
.
{\displaystyle \forall _{x,y\in \mathbb {F} }\ x<y{\underline {\lor }}x=y{\underline {\lor }}x>y.}
↑ Fakt ten wynika z twierdzenia o nasyceniu .
↑
N
∗
≠
{
n
∗
:
n
∈
N
}
.
{\displaystyle \mathbb {N} ^{*}\neq \{n^{*}:n\in \mathbb {N} \}.}
↑
Q
∗
≠
{
q
∗
:
q
∈
Q
}
.
{\displaystyle \mathbb {Q} ^{*}\neq \{q^{*}:q\in \mathbb {Q} \}.}
↑ Warto odnotować, że ciąg hiperrzeczywisty ma nieprzeliczalnie wiele wyrazów!
↑ a b c d e f g h i j k Piotr Błaszczyk, Analiza filozoficzna rozprawy Richarda Dedekinda Stetigkeit und irrationale Zahlen , Wydawnictwo Naukowe Akademii Pedagogicznej, Kraków 2007, ISBN 978-83-7271-446-6 , s. 181.
↑ Piotr Błaszczyk, O definicji 7 z Księgi V Elementów Euklidesa , „Zagadnienia Filozoficzne w Nauce” 46, 2010, s. 117–139.
↑ Analiza niestandardowa , [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-09-15] .
↑ a b c d e f g Piotr Błaszczyk, Joanna Major, Calculus without the concept of limit , „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 6, 2014, ISSN 2080-9751 , s. 24.
↑ a b Piotr Błaszczyk, Joanna Major, Calculus without the concept of limit , „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 6, 2014, ISSN 2080-9751 , s. 23.
↑ Arne Tobias Malkenes Ødegaard, Hyperreal Calculus , Department of Mathematics, University of Oslo, s. 2.
↑ Piotr Błaszczyk, O ciałach uporządkowanych , „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 4, 2012, ISSN 2080-9751 , s. 27–28.
↑ a b c d e f g h i j k Arne Tobias Malkenes Ødegaard, Hyperreal Calculus , Department of Mathematics, University of Oslo, s. 3.
↑ a b c d Piotr Błaszczyk, Joanna Major, Calculus without the concept of limit , „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 6, 2014, ISSN 2080-9751 , s. 25.
↑ a b c d e f Piotr Błaszczyk, Analiza filozoficzna rozprawy Richarda Dedekinda Stetigkeit und irrationale Zahlen , Wydawnictwo Naukowe Akademii Pedagogicznej, Kraków 2007, ISBN 978-83-7271-446-6 , s. 184.
↑ a b c d e f g h i j k Piotr Błaszczyk, Joanna Major, Calculus without the concept of limit , „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 6, 2014, ISSN 2080-9751 , s. 26.
↑ a b c Piotr Błaszczyk, O ciałach uporządkowanych , „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 4, 2012, ISSN 2080-9751 , s. 28.
↑ a b c d e Piotr Błaszczyk, Joanna Major, Calculus without the concept of limit , „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 6, 2014, ISSN 2080-9751 , s. 27.
↑ a b Alexander Prestel, Nonstandard Analysis , Springer, New York 1995, s. 326.
↑ a b c d Arne Tobias Malkenes Ødegaard, Hyperreal Calculus , Department of Mathematics, University of Oslo, s. 4.
↑ Arne Tobias Malkenes Ødegaard, Hyperreal Calculus , Department of Mathematics, University of Oslo, s. 6.
↑ Piotr Błaszczyk, Joanna Major, Calculus without the concept of limit , „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 6, 2014, ISSN 2080-9751 , s. 20.
↑ Piotr Błaszczyk, O ciałach uporządkowanych , „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 4, 2012, ISSN 2080-9751 , s. 16–17.
↑ Piotr Błaszczyk, Analiza filozoficzna rozprawy Richarda Dedekinda Stetigkeit und irrationale Zahlen , Wydawnictwo Naukowe Akademii Pedagogicznej, Kraków 2007, ISBN 978-83-7271-446-6 , s. 258.
↑ a b c d e f g h i j Piotr Błaszczyk, Analiza filozoficzna rozprawy Richarda Dedekinda Stetigkeit und irrationale Zahlen , Wydawnictwo Naukowe Akademii Pedagogicznej, Kraków 2007, ISBN 978-83-7271-446-6 , s. 182.
↑ a b Piotr Błaszczyk, Joanna Major, Calculus without the concept of limit , „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 6, 2014, ISSN 2080-9751 , s. 29.
↑ a b c d e Piotr Błaszczyk, Joanna Major, Calculus without the concept of limit , „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 6, 2014, ISSN 2080-9751 , s. 27–28.
↑ Piotr Błaszczyk, Joanna Major, Calculus without the concept of limit , „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 6, 2014, ISSN 2080-9751 , s. 28–29.
↑ Piotr Błaszczyk, O ciałach uporządkowanych , „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 4, 2012, ISSN 2080-9751 , s. 29.
↑ a b c Piotr Błaszczyk, Analiza filozoficzna rozprawy Richarda Dedekinda Stetigkeit und irrationale Zahlen , Wydawnictwo Naukowe Akademii Pedagogicznej, Kraków 2007, ISBN 978-83-7271-446-6 , s. 187.
↑ a b c d Piotr Błaszczyk, Joanna Major, Calculus without the concept of limit , „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 6, 2014, ISSN 2080-9751 , s. 30.
↑ a b c d Piotr Błaszczyk, Joanna Major, Calculus without the concept of limit , „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 6, 2014, ISSN 2080-9751 , s. 32.
↑ a b Piotr Błaszczyk, Joanna Major, Calculus without the concept of limit , „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 6, 2014, ISSN 2080-9751 , s. 28.
↑ a b c Piotr Błaszczyk, Joanna Major, Calculus without the concept of limit , „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 6, 2014, ISSN 2080-9751 , s. 34.
↑ a b c d Piotr Błaszczyk, Analiza filozoficzna rozprawy Richarda Dedekinda Stetigkeit und irrationale Zahlen , Wydawnictwo Naukowe Akademii Pedagogicznej, Kraków 2007, ISBN 978-83-7271-446-6 , s. 185.
↑ a b c d e Piotr Błaszczyk, Analiza filozoficzna rozprawy Richarda Dedekinda Stetigkeit und irrationale Zahlen , Wydawnictwo Naukowe Akademii Pedagogicznej, Kraków 2007, ISBN 978-83-7271-446-6 , s. 183.
↑ a b c d e f g h Piotr Błaszczyk, Joanna Major, Calculus without the concept of limit , „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 6, 2014, ISSN 2080-9751 , s. 33.
↑ a b c d e f g h i j Arne Tobias Malkenes Ødegaard, Hyperreal Calculus , Department of Mathematics, University of Oslo, s. 8.
↑ a b Arne Tobias Malkenes Ødegaard, Hyperreal Calculus , Department of Mathematics, University of Oslo, s. 9.
↑ a b Piotr Błaszczyk, O definicji 7 z Księgi V „Elementów” Euklidesa , „Zagadnienia Filozoficzne w Nauce”, XLVI, 2010, s. 134.
↑ a b c Piotr Błaszczyk, Joanna Major, Calculus without the concept of limit , „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 6, 2014, ISSN 2080-9751 , s. 35.
↑ a b Arne Tobias Malkenes Ødegaard, Hyperreal Calculus , Department of Mathematics, University of Oslo, s. 5.
↑ a b c d e Piotr Błaszczyk, Analiza filozoficzna rozprawy Richarda Dedekinda Stetigkeit und irrationale Zahlen , Wydawnictwo Naukowe Akademii Pedagogicznej, Kraków 2007, ISBN 978-83-7271-446-6 , s. 186.
↑ a b Piotr Błaszczyk, Joanna Major, Calculus without the concept of limit , „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 6, 2014, ISSN 2080-9751 , s. 38.
↑ Arne Tobias Malkenes Ødegaard, Hyperreal Calculus , Department of Mathematics, University of Oslo, s. 12.
↑ a b c d e f Arne Tobias Malkenes Ødegaard, Hyperreal Calculus , Department of Mathematics, University of Oslo, s. 13.
↑ a b c d Arne Tobias Malkenes Ødegaard, Hyperreal Calculus , Department of Mathematics, University of Oslo, s. 17.