Zbiór rzutowy

pojęcie topologii

Zbiory rzutowe – podzbiory przestrzeni polskiej, które mogą być otrzymane ze zbiorów borelowskich przy użyciu skończenie wielu operacji ciągłych obrazów i dopełnienia.

Zbiory rzutowe były wprowadzone niezależnie w latach 20. XX wieku przez rosyjskiego matematyka Nikołaja Łuzina[1][2][3] i polskiego matematyka Wacława Sierpińskiego[4].

Hierarchia zbiorów rzutowych

edytuj

Niech   oznacza przestrzeń Baire’a (jest to przestrzeń homeomorficzna z przestrzenią liczb niewymiernych). Przez indukcję po liczbach naturalnych   dla każdej przestrzeni polskiej   definiujemy klasy Łuzina   i klasy dualne  

  •   jest rodziną tych wszystkich podzbiorów   przestrzeni   że dla pewnego zbioru borelowskiego   mamy  
  •   jest rodziną tych podzbiorów   przestrzeni   że  
  •   jest rodziną tych podzbiorów   przestrzeni   że dla pewnego   mamy  
  •   jest rodziną tych podzbiorów   przestrzeni   że  

Definiujemy również  

Jeśli wiadomo w jakiej przestrzeni polskiej pracujemy (albo jeśli nie jest to istotne), to piszemy   (zamiast  ). Elementy tych klas noszą wspólną nazwę zbiorów rzutowych.

Głównie w starszych podręcznikach topologii i teorii mnogości dla początkowych klas rzutowych używa się następującej terminologii:

  • elementy klasy   nazywane są zbiorami analitycznymi, a zbiory z   są określane jako zbiory koanalityczne; czasami te klasy zbiorów oznacza się A i CA,
  • klasy   i   oznaczane są też przez PCA i CPCA etc.

Przykładowe własności

edytuj

Poniżej przedstawiamy tylko parę przykładowych własności klas rzutowych. Teoria tych klas jest bardzo rozbudowana i zainteresowany czytelnik może bliżej zapoznać się z nią czytając np. monografię Yiannisa Moschovakisa[5] lub książkę Tomka Bartoszyńskiego i Haima Judaha[6].

Niech   będzie przestrzenią polską.

  • Zachodzą następujące inkluzje (gdzie „ ” jest reprezentowane przez strzałkę „ ”):
           
             
           
             
           
  •   jest rodziną wszystkich borelowskich podzbiorów przestrzeni  
  • Każda klasa Łuzina   jest zamknięta na przeliczalne sumy i przekroje i podobnie dla klas dualnych  [7].
  • Każda klasa   jest σ-ciałem zbiorów.
  • Jeśli   jest przestrzenią polską,   jest funkcją ciągłą oraz   to  
  • Jeśli   jest przestrzenią polską,   jest funkcją ciągłą oraz     to także    
  • Wszystkie zbiory z   mają własność Baire’a.
  • Wszystkie zbiory z   są mierzalne w sensie miary Lebesgue’a.
  • Jeśli założymy MA oraz ¬CH, to wówczas wszystkie zbiory z   są mierzalne i mają własność Baire’a.
  • Jeśli założymy aksjomat konstruowalności, to
(a) istnieje  -dobre uporządkowanie prostej rzeczywistej,
(b) istnieje  -podzbiór prostej który nie jest mierzalny w sensie Lebesgue’a i który nie ma własności Baire’a,
(c) istnieje nieprzeliczalny koanalityczny podzbiór prostej który nie zawiera żadnego podzbioru doskonałego.
  • Jeśli istnieje liczba nieosiągalna, to istnieje model teorii mnogości w którym wszystkie rzutowe podzbiory prostej są mierzalne w sensie Lebesgue’a[8].
  • Można zbudować pojęcie forsingu, które forsuje, że wszystkie zbiory rzutowe mają własność Baire’a, ale mierzalność wszystkich zbiorów klasy   implikuje, że   jest liczbą nieosiagalną w uniwersum zbiorów konstruowalnych (Kurta Gödla)[9].
  • Jeśli istnieje liczba mierzalna, to wszystkie gry nieskończone na zbiory z   są zdeterminowane[10]. Przy założeniu istnienia znacznie większych dużych liczb kardynalnych można wykazać, że gry na zbiory z wyższych klas rzutowych też są zdeterminowane[11][12].

Zobacz też

edytuj

Przypisy

edytuj
  1. Lusin, N.: Sur un problème de M. Emile Borel et les ensembles projectifs de M. Henri Lebesgue; les ensembles analytiques, „Comptes Rendus Acad. Sci. Paris” 180 (1925), 1318–1320.
  2. Lusin, N.: Sur les ensembles projectifs de M. Henri Lebesgue, „Comptes Rendus Acad. Sci. Paris” 180 (1925), 1572–1575.
  3. Lusin, N.: Les propriétés des ensembles projectifs, „Comptes Rendus Acad. Sci. Paris” 188 (1925), 1817–1819.
  4. Sierpiński, W.: Sur une classe d’ensembles, „Fundamenta Mathematicae” 7 (1925), 237–243.
  5. Moschovakis, Yiannis N.: Descriptive set theory. „Studies in Logic and the Foundations of Mathematics”, 100. North-Holland Publishing Co., Amsterdam-New York, 1980. ISBN 0-444-85305-7.
  6. Bartoszyński, Tomek; Judah, Haim: Set theory. On the structure of the real line. A K Peters, Ltd., Wellesley, MA, 1995. ISBN 1-56881-044-X.
  7. Sierpiński, W.: Sur les produits des images continues des ensembles C(A), „Fundamenta Mathematicae” 11 (1928), 123–126.
  8. Solovay, Robert M.: A model of set-theory in which every set of reals is Lebesgue measurable. „Ann. of Math.” 92 (1970) 1–56.
  9. Shelah, Saharon: Can you take Solovay’s inaccessible away? „Israel J. Math.” 48 (1984), s. 1–47.
  10. Martin, Donald A.: Measurable cardinals and analytic games. „Fund. Math.” 66 (1969/1970), s. 287–291.
  11. Woodin, W. Hugh: Supercompact cardinals, sets of reals, and weakly homogeneous trees. „Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A.” 85 (1988), s. 6587–6591.
  12. Martin, Donald A., Steel, John R.: A proof of projective determinacy. „Journal of the American Mathematical Society” 2 (1989), s. 1, 71–125.