Liczba nieosiągalna

Liczba nieosiągalna – regularna graniczna liczba kardynalna. Regularne silnie graniczne liczby kardynalne nazywane są liczbami silnie nieosiągalnymi. Liczby nieosiągalne są najprostszymi przykładami dużych liczb kardynalnych.

Istnieją pewne niekonsekwencje w terminologii dotyczącej liczb nieosiągalnych. Niektórzy autorzy używają nazwy liczby słabo nieosiągalne na oznaczenie granicznych liczb regularnych rezerwując nazwę liczba nieosiągalna dla silnie granicznych regularnych liczb kardynalnych.

Definicje

• Liczba porządkowa $\alpha$ jest początkową liczbą porządkową jeśli $\alpha$ nie jest równoliczna z żadną liczbą porządkową od niej mniejszą. Początkowe liczby porządkowe są też nazywane liczbami kardynalnymi.
• Dla liczby kardynalnej $\kappa$ określamy:

$\kappa ^{+}$ jest pierwszą liczbą kardynalną większą od $\kappa$ (jest to tzw. następnik $\kappa$),

$2^{\kappa }$ jest mocą rodziny wszystkich podzbiorów $\kappa .$

• Liczba kardynalna $\kappa$ jest regularną liczbą kardynalną jeśli dla każdej rodziny zbiorów $\{A_{i}:i\in I\}$ takich że $|A_{i}|<\kappa$ dla wszystkich $i\in I$ oraz $|I|<\kappa$ mamy, że $\left|\bigcup \limits _{i\in I}A_{i}\right|<\kappa .$
• Liczba kardynalna $\kappa$ jest graniczną liczbą kardynalną jeśli $\kappa$ jest nieskończona oraz dla każdej liczby kardynalnej $\mu <\kappa$ mamy $\mu ^{+}<\kappa .$ Powiemy, że $\kappa$ jest silnie graniczną liczbą kardynalną, jeśli $\kappa$ jest nieskończona oraz dla każdej liczby kardynalnej $\mu <\kappa$ mamy $2^{\mu }<\kappa .$

Nieprzeliczalna liczba kardynalna $\kappa$ jest (słabo) nieosiągalna jeśli jest ona graniczna i regularna, a jest nazywana liczbą silnie nieosiągalną, jeśli jest ona silnie graniczna i regularna.

Własności i przykłady

• Definicja liczb nieosiągalnych jest sformułowana dla liczb nieprzeliczalnych tylko, aby wyeliminować trochę patologiczny przypadek pierwszej nieskończonej liczby kardynalnej $\aleph _{0},$ która jest regularna i silnie graniczna. Podobieństwo liczb nieosiągalnych do liczby $\aleph _{0}$ jest czasami wyrażane w stwierdzeniu, że liczby nieosiągalne mają się do liczb mniejszych tak jak $\aleph _{0}$ ma się do liczb skończonych.
• Jeśli $\kappa$ jest liczbą nieosiągalną, to $\aleph _{\kappa }=\kappa .$
• Jeśli $\kappa$ jest liczbą silnie nieosiągalną, to $\beth _{\kappa }=\kappa .$
• Jeśli GCH jest spełnione, to każda liczba (słabo) nieosiągalna jest silnie nieosiągalna.
• W ZFC, jeśli $\kappa$ jest liczbą silnie nieosiągalną, to V_κ jest modelem ZFC. Zakładając ZF, jeśli $\kappa$ jest liczbą (słabo) nieosiągalną, to L_κ jest modelem ZFC. Zatem „ZF+ istnieje liczba nieosiągalna” implikuje, że „ZFC jest niesprzeczne”. Na mocy drugiego twierdzenia Gödla o niezupełności nie można udowodnić w ZFC że istnieją liczby nieosiągalne.
• Jeśli istnieją liczby nieosiągalne i $\kappa$ jest pierwszą taką liczbą, to L_κ jest modelem dla „ZFC + nie istnieją liczby nieosiągalne”. Zatem jeśli teoria ZFC jest niesprzeczna, to także teoria „ZFC + nie istnieją liczby nieosiągalne” jest niesprzeczna.