Wzór McMillana

Wzór McMillana – wzór pozwalający oszacować temperaturę krytyczną przejścia substancji w stan nadprzewodnictwa w przypadku silnego sprzężenia elektron-fonon. Wzór ten ma postać

$T_{c}\approx T_{D}\exp \left(-{\frac {1+\lambda }{\lambda -\mu _{C}}}\right),$

gdzie:

$T_{D}$ – temperatura Debye’a,

$\lambda$ – parametr charakteryzujący sprzężenie elektron-fonon,

$\mu _{C}$ – parametr charakteryzujący kulombowskie odpychanie elektronów w parach Coopera.

Dla typowych materiałów wartość $\mu _{C}$ wynosi ok. 0,13. Wzór pozostaje słuszny dla wartości $\lambda$ rzędu 1. Dla bardzo silnych sprzężeń $(\lambda >3)$ może dawać tylko bardzo przybliżone wyniki.

W poniższej tabeli zestawione są wartości temperatury krytycznej $T_{c},$ temperatury Debeye’a $T_{D}$ oraz sprzężenia elektron-fonon $\lambda$ dla niektórych pierwiastków wykazujących nadprzewodnictwo.

Pierwiastek	$T_{c}$ [K]	$T_{D}$ [K]	$\lambda$
Al	1,16	428	0,38
Zn	0,85	309	0,38
Sn	3,72	200	0,60
V	5,30	399	0,60
Pb	7,19	105	1,12
Hg	4,16	72	1,00
Nb	9,22	277	0,82

Dla małych wartości parametru $\lambda$ (ok. 0,3) ma zastosowanie teoria BCS, z której wynika prosta zależność temperatury krytycznej od $\lambda$ w postaci:

$T_{c}=T_{D}\exp \left(-{\frac {1}{\lambda }}\right).$

Wielkość $\mu _{C}$ różni się od klasycznego odpychania μ uwzględnieniem logarytmicznej redukcji oddziaływania kulombowskiego zachodzącego między parami elektronów w obecności innych elektronów. Ekranowanie zachodzi, ponieważ oddziaływanie kulombowskie rozchodzi się szybciej, niż oddziaływanie za pośrednictwem fononu:

${\frac {1}{\mu _{C}}}={\frac {1}{\mu }}+\ln \left({\frac {\omega _{el}}{\omega _{f}}}\right),$

gdzie:

$\omega _{el}$ – częstość Fermiego,

$\omega _{f}$ – częstość odcięcia dla fononów,

$\omega _{el}/\omega _{f}$ – miara prędkości rozchodzenia się oddziaływań.

Wzór McMillana pozwolił porównać efektywność oddziaływania prowadzącego do powstania par elektronów w różnych materiałach nadprzewodzących. Dodatkowo wykazano silny wpływ struktury krystalicznej na oddziaływanie elektron-fonon.