Model Debye’a ciała stałego

Model Debye’a – model fizyczny ciała stałego używany w termodynamice i fizyce ciała stałego, wprowadzony przez Petera Debye’a w 1912 r., pozwalający wyznaczyć teoretycznie zależność ciepła właściwego ciał stałych od temperatury. Model ten zakłada, że w ciele stałym powstają fale, będące wynikiem drgań sieci krystalicznej ciała stałego (ogólnie fizyka tłumaczy powstawanie fal w ośrodkach materialnych jako wynik drgań cząsteczek tego ośrodka). Przy tym model zakłada, że istnieje minimalna długość propagujących się fal $\lambda _{D}$ równa stałej sieci krystalicznej (i odpowiadająca jej maksymalna częstości $\omega _{D}$), gdyż fale o długościach mniejszych niż długość stałej sieci nie mogą się propagować w ciele stałym.

Był to historycznie drugi model (pierwszym był model Einsteina), który opisuje spadek ciepła właściwego z temperaturą, oraz pierwszy, który tłumaczy charakterystykę.

Do dziś jest to jeden z najlepszych modeli ciała stałego.

Założenia modelu

Model rozpatruje ciało stałe jako izotropowy ośrodek sprężysty, punktowych ciał połączonych sprężynami wykonujących drgania swobodne. Oznacza to, że w ciele stałym o $N$ atomach liczba drgań własnych sieci jest równa $3N,$ a drgania sieci nie mogą mieć częstości większej od częstości maksymalnej (częstości Debye’a), która wynika z minimalnej długości fali jaka może propagować się w ciele.

W modelu tym przyjmuje się, że drgania atomów w sieci krystalicznej można uważać za harmoniczne. Dlatego można ją przybliżyć układem harmonicznych oscylatorów kwantowych. W modelu Debye’a rozkład liczby oscylatorów w zależności od częstości dany jest przez zależność:

$g(\omega )=\left\{{\begin{matrix}{\frac {3V}{2\pi ^{2}v_{0}^{3}}}\omega ^{2}&\omega \leqslant \omega _{D}\\0&\omega >\omega _{D}\end{matrix}}\right.,$

gdzie:

$\omega _{D}=v_{0}\left(6\pi ^{2}{\frac {N}{V}}\right)^{\frac {1}{3}}$ częstość Debye’a,

$V$ – objętość ciała,

$N$ – liczba atomów w ciele,

$v_{0}$ – uśredniona prędkość dźwięku w ciele stałym.

Zależność ciepła właściwego od temperatury w modelu Deby'a oraz Einsteina.

Energię wewnętrzną ciała stałego określa wzór:

$U=\int \limits _{0}^{\omega _{D}}{g(\omega )}{\frac {\hbar \omega }{e^{\frac {\hbar \omega }{kT}}-1}}\;d{\omega }\,\,\,$ (dla każdej polaryzacji),

gdzie:

• $k$ – stała Boltzmanna,
• $\hbar$ – stała Plancka podzielona przez $2\pi ,$
• ${\frac {\hbar \omega }{e^{\frac {\hbar \omega }{kT}}-1}}\,\,\,$ - rozkład Plancka

a ciepło właściwe:

$c_{V}={\frac {1}{N}}{\left({\frac {\partial U}{\partial T}}\right)}_{N,V},$

więc:

$c_{V}=9k\left({\frac {T}{T_{D}}}\right)^{3}\int \limits _{0}^{\frac {T_{D}}{T}}{\frac {x^{4}e^{x}}{{(e^{x}-1)}^{2}}}\;dx,$

gdzie: $T_{D}={\frac {\hbar \omega _{D}}{k}}$ temperatura Debye’a.

Granica wysokiej temperatury

Jeżeli $T\gg T_{D}$   to:   $c_{V}\approx 3k\cdot N_{A}=3R\quad {}$ (prawo Dulonga-Petita),

gdzie:

$R$ – stała gazowa,

$N_{A}$ – stała Avogadra.

Granica niskiej temperatury

Jeżeli $T\ll T_{D}$   to:   $c_{V}\approx {\frac {12}{5}}\pi ^{4}R\cdot \left({\frac {T}{T_{D}}}\right)^{3}$

czyli

$c_{V}\thicksim {T}^{3}$ (prawo Debye’a)

Temperatura Debye’a

Temperatury Debaye’a dla wybranych substancji:

aluminum	426 K		platyna	240 K
kadm	186 K		krzem	640 K
chrom	610 K		srebro	225 K
miedź	344,5 K		cyna (biała, β)	195 K
złoto	165 K		tytan	420 K
α-Żelazo	464 K		wolfram	405 K
ołów	96 K		cynk	300 K
α-Mangnez	476 K		diament	2200 K
nikiel	440 K		lód	192 K

Zobacz też

• ciepło właściwe