Niech
f
{\displaystyle f}
g
{\displaystyle g}
różniczkowalnymi i mającymi pochodne aż do rzędu
n
{\displaystyle n}
n
{\displaystyle n}
f
⋅
g
{\displaystyle f\cdot g}
(
f
⋅
g
)
(
n
)
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
f
(
k
)
g
(
n
−
k
)
,
{\displaystyle (f\cdot g)^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}f^{(k)}g^{(n-k)},}
(1)
gdzie
(
n
k
)
{\displaystyle n \choose k}
symbol Newtona (współczynnik dwumianowy), a
f
(
0
)
:=
f
.
{\displaystyle f^{(0)}:=f.}
notacji wielowskaźnikowej :
∂
α
(
f
g
)
=
∑
β
⩽
α
(
α
β
)
(
∂
α
−
β
f
)
(
∂
β
g
)
.
{\displaystyle \partial ^{\alpha }(fg)=\sum _{\beta \leqslant \alpha }{\alpha \choose \beta }(\partial ^{\alpha -\beta }f)(\partial ^{\beta }g).}
Wzór
d
n
f
(
x
)
g
(
x
)
d
x
n
=
∑
i
=
0
n
(
n
i
)
f
(
i
)
(
x
)
g
(
n
−
i
)
(
x
)
{\displaystyle {\frac {d^{n}f(x)g(x)}{dx^{n}}}=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}f^{(i)}(x)g^{(n-i)}(x)}
udowodnimy, używając indukcji matematycznej (zupełnej) ze względu na
n
.
{\displaystyle n.}
Dla
n
=
1
{\displaystyle n=1}
d
f
(
x
)
g
(
x
)
d
x
2
=
(
1
0
)
f
(
0
)
(
x
)
g
(
1
)
(
x
)
+
(
1
1
)
f
(
1
)
(
x
)
g
(
0
)
(
x
)
,
{\displaystyle {\frac {df(x)g(x)}{dx^{2}}}={1 \choose 0}f^{(0)}(x)g^{(1)}(x)+{1 \choose 1}f^{(1)}(x)g^{(0)}(x),}
f
(
1
)
(
x
)
g
(
x
)
+
f
(
x
)
g
(
1
)
(
x
)
=
f
(
1
)
(
x
)
g
(
x
)
+
f
(
x
)
g
(
1
)
(
x
)
.
{\displaystyle f^{(1)}(x)g(x)+f(x)g^{(1)}(x)=f^{(1)}(x)g(x)+f(x)g^{(1)}(x).}
Teraz udowodnimy ten wzór dla
n
+
1
,
{\displaystyle n+1,}
n
{\displaystyle n}
d
n
+
1
f
(
x
)
g
(
x
)
d
x
n
+
1
=
d
d
x
d
n
f
(
x
)
g
(
x
)
d
x
n
=
d
d
x
(
∑
i
=
0
n
(
n
i
)
f
(
i
)
(
x
)
g
(
n
−
i
)
(
x
)
)
=
(
∑
i
=
0
n
(
n
i
)
f
(
i
+
1
)
(
x
)
g
(
n
−
i
)
(
x
)
)
+
(
∑
i
=
0
n
(
n
i
)
f
(
i
)
(
x
)
g
(
n
−
i
+
1
)
(
x
)
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{n+1}f(x)g(x)}{dx^{n+1}}}&={\frac {d}{dx}}{\frac {d^{n}f(x)g(x)}{dx^{n}}}={\frac {d}{dx}}\left(\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}f^{(i)}(x)g^{(n-i)}(x)\right)\\&=\left(\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}f^{(i+1)}(x)g^{(n-i)}(x)\right)+\left(\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}f^{(i)}(x)g^{(n-i+1)}(x)\right).\end{aligned}}}
Weźmy teraz dla pierwszego członu
i
′
=
i
+
1.
{\displaystyle i'=i+1.}
d
n
+
1
f
(
x
)
g
(
x
)
d
x
n
+
1
=
(
∑
i
′
=
1
n
+
1
(
n
i
′
−
1
)
f
(
i
′
)
(
x
)
g
(
n
−
i
′
+
1
)
(
x
)
)
+
(
∑
i
=
0
n
(
n
i
)
f
(
i
)
(
x
)
g
(
n
−
i
+
1
)
(
x
)
)
=
∑
i
=
0
n
+
1
(
(
n
i
−
1
)
+
(
n
i
)
)
f
(
i
)
(
x
)
g
(
n
−
i
+
1
)
(
x
)
=
∑
i
=
0
n
+
1
(
n
+
1
i
)
f
(
i
)
(
x
)
g
(
n
+
1
−
i
)
(
x
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{n+1}f(x)g(x)}{dx^{n+1}}}&=\left(\sum _{i'=1}^{n+1}{n \choose i'-1}f^{(i')}(x)g^{(n-i'+1)}(x)\right)+\left(\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}f^{(i)}(x)g^{(n-i+1)}(x)\right)\\&=\sum _{i=0}^{n+1}\left({n \choose i-1}+{n \choose i}\right)f^{(i)}(x)g^{(n-i+1)}(x)=\sum _{i=0}^{n+1}{n+1 \choose i}f^{(i)}(x)g^{(n+1-i)}(x).\end{aligned}}}
Istnieje podobny wzór, zachodzący dla
r
{\displaystyle r}
f
1
,
…
,
f
r
{\displaystyle f_{1},\dots ,f_{r}}
n
{\displaystyle n}
n
{\displaystyle n}
f
1
…
f
r
=
Π
i
=
1
r
f
i
{\displaystyle f_{1}\ldots f_{r}=\Pi _{i=1}^{r}f_{i}}
d
n
d
x
n
∏
i
=
1
r
f
i
(
x
)
=
∑
n
1
+
…
+
n
r
=
n
(
n
n
1
,
n
2
,
…
,
n
r
)
∏
i
=
1
r
d
n
i
d
x
n
i
f
i
(
x
)
,
{\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\prod _{i=1}^{r}f_{i}(x)=\sum _{n_{1}+\ldots +n_{r}=n}{n \choose n_{1},n_{2},\dots ,n_{r}}\prod _{i=1}^{r}{\frac {d^{n_{i}}}{dx^{n_{i}}}}f_{i}(x),}
(2)
gdzie
(
n
n
1
,
n
2
,
…
,
n
r
)
:=
n
!
n
1
!
,
n
2
!
,
…
,
n
r
!
{\displaystyle {n \choose n_{1},n_{2},\dots ,n_{r}}:={\frac {n!}{n_{1}!,n_{2}!,\dots ,n_{r}!}}}
oznacza współczynnik multimianowy . Sumowanie we wzorze (2) odbywa się po wszystkich liczbach naturalnych (łącznie z 0), których suma daje
n
.
{\displaystyle n.}
Dowód przeprowadzimy poprzez indukcję ze względu na
r
.
{\displaystyle r.}
r
=
2
{\displaystyle r=2}
(2) staje się zwykłym wzorem Leibniza (1) :
d
n
d
x
n
∏
i
=
1
2
f
i
(
x
)
=
∑
n
1
+
n
2
=
n
(
n
n
1
,
n
2
)
∏
i
=
1
2
d
n
i
d
x
n
i
f
i
(
x
)
=
∑
n
1
=
0
n
(
n
n
1
,
(
n
−
n
1
)
)
d
n
1
d
x
n
1
f
1
(
x
)
d
n
−
n
1
d
x
n
−
n
1
f
2
(
x
)
=
∑
n
1
=
0
n
n
!
n
1
!
(
n
−
n
1
)
!
d
n
1
d
x
n
1
f
1
(
x
)
d
n
−
n
1
d
x
n
−
n
1
f
2
(
x
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\prod _{i=1}^{2}f_{i}(x)&=\sum _{n_{1}+n_{2}=n}{n \choose n_{1},n_{2}}\prod _{i=1}^{2}{\frac {d^{n_{i}}}{dx^{n_{i}}}}f_{i}(x)\\&=\sum _{n_{1}=0}^{n}{n \choose n_{1},(n-n_{1})}{\frac {d^{n_{1}}}{dx^{n_{1}}}}f_{1}(x){\frac {d^{n-n_{1}}}{dx^{n-n_{1}}}}f_{2}(x)\\&=\sum _{n_{1}=0}^{n}{\frac {n!}{n_{1}!\,(n-n_{1})!}}\,{\frac {d^{n_{1}}}{dx^{n_{1}}}}f_{1}(x){\frac {d^{n-n_{1}}}{dx^{n-n_{1}}}}f_{2}(x).\end{aligned}}}
Zakładamy więc, że wzór (2) zachodzi dla pewnej liczby naturalnej
r
>
2.
{\displaystyle r>2.}
r
+
1
{\displaystyle r+1}
f
1
,
…
,
f
r
,
f
r
+
1
.
{\displaystyle f_{1},\dots ,f_{r},\,f_{r+1}.}
∏
i
=
1
r
+
1
f
i
(
x
)
=
(
f
r
+
1
(
x
)
)
(
∏
i
=
1
r
f
i
(
x
)
)
.
{\displaystyle \prod _{i=1}^{r+1}f_{i}(x)=\left(f_{r+1}(x)\right)\left(\prod _{i=1}^{r}f_{i}(x)\right).}
Skorzystajmy teraz ze zwykłego wzoru Leibniza dla dwóch funkcji,
f
r
+
1
{\displaystyle f_{r+1}}
∏
i
=
1
r
f
i
:
{\displaystyle \prod _{i=1}^{r}f_{i}{:}}
d
n
d
x
n
(
f
r
+
1
(
x
)
)
(
∏
i
=
1
r
f
i
(
x
)
)
=
∑
n
r
+
1
=
0
n
(
n
n
r
+
1
)
(
d
n
r
+
1
d
x
n
r
+
1
f
r
+
1
(
x
)
)
(
d
n
−
n
r
+
1
d
x
n
−
n
r
+
1
∏
i
=
1
r
f
i
(
x
)
)
{\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(f_{r+1}(x)\right)\left(\prod _{i=1}^{r}f_{i}(x)\right)=\sum _{n_{r+1}=0}^{n}\left({n \atop n_{r+1}}\right)\left({\frac {d^{n_{r+1}}}{dx^{n_{r+1}}}}f_{r+1}(x)\right)\left({\frac {d^{n-n_{r+1}}}{dx^{n-n_{r+1}}}}\prod _{i=1}^{r}f_{i}(x)\right)}
(wyrażenie
n
r
+
1
{\displaystyle n_{r+1}}
i
{\displaystyle i}
(
d
n
−
n
r
+
1
d
x
n
−
n
r
+
1
∏
i
=
1
r
f
i
(
x
)
)
=
∑
n
1
+
…
+
n
r
=
n
−
n
r
+
1
(
n
−
n
r
+
1
n
1
,
n
2
,
…
,
n
r
)
∏
i
=
1
r
d
n
i
d
x
n
i
f
i
(
x
)
.
{\displaystyle \left({\frac {d^{n-n_{r+1}}}{dx^{n-n_{r+1}}}}\prod _{i=1}^{r}f_{i}(x)\right)=\sum _{\begin{smallmatrix}n_{1}+\ldots +n_{r}\\=n-n_{r+1}\end{smallmatrix}}{n-n_{r+1} \choose n_{1},n_{2},\dots ,n_{r}}\prod _{i=1}^{r}{\frac {d^{n_{i}}}{dx^{n_{i}}}}f_{i}(x).}
Kolejno wstawiając rozpisane wyrażenie z nawiasu i stosując własności sumy, otrzymujemy:
d
n
d
x
n
(
f
r
+
1
(
x
)
)
(
∏
i
=
1
r
f
i
(
x
)
)
=
∑
n
r
+
1
=
0
n
(
n
n
r
+
1
)
(
d
n
r
+
1
d
x
n
r
+
1
f
r
+
1
(
x
)
)
(
∑
n
1
+
…
+
n
r
=
n
−
n
r
+
1
(
n
−
n
r
+
1
n
1
,
n
2
,
…
,
n
r
)
∏
i
=
1
r
d
n
i
d
x
n
i
f
i
(
x
)
)
=
∑
n
r
+
1
=
0
n
∑
n
1
+
…
+
n
r
=
n
−
n
r
+
1
(
n
n
r
+
1
)
(
n
−
n
r
+
1
n
1
,
n
2
,
…
,
n
r
)
(
d
n
r
+
1
d
x
n
r
+
1
f
r
+
1
(
x
)
)
(
∏
i
=
1
r
d
n
i
d
x
n
i
f
i
(
x
)
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(f_{r+1}(x)\right)\left(\prod _{i=1}^{r}f_{i}(x)\right)&=\sum _{n_{r+1}=0}^{n}\left({n \atop n_{r+1}}\right)\left({\frac {d^{n_{r+1}}}{dx^{n_{r+1}}}}f_{r+1}(x)\right)\left(\sum _{\begin{smallmatrix}n_{1}+\ldots +n_{r}\\=n-n_{r+1}\end{smallmatrix}}{n-n_{r+1} \choose n_{1},n_{2},\dots ,n_{r}}\prod _{i=1}^{r}{\frac {d^{n_{i}}}{dx^{n_{i}}}}f_{i}(x)\right)\\&=\sum _{n_{r+1}=0}^{n}\;\sum _{\begin{smallmatrix}n_{1}+\ldots +n_{r}\\=n-n_{r+1}\end{smallmatrix}}\left({n \atop n_{r+1}}\right){n-n_{r+1} \choose n_{1},n_{2},\dots ,n_{r}}\left({\frac {d^{n_{r+1}}}{dx^{n_{r+1}}}}f_{r+1}(x)\right)\left(\prod _{i=1}^{r}{\frac {d^{n_{i}}}{dx^{n_{i}}}}f_{i}(x)\right).\end{aligned}}}
Korzystając z faktu, że dla liczb
n
,
n
1
,
…
,
n
r
,
n
r
+
1
{\displaystyle n,\,n_{1},\,\dots ,n_{r},\,n_{r+1}}
(
n
−
n
r
+
1
n
1
,
n
2
,
…
,
n
r
)
(
n
n
r
+
1
)
=
(
n
−
n
r
+
1
)
!
n
1
!
n
2
!
…
n
r
!
n
!
n
r
+
1
!
(
n
−
n
r
+
1
)
!
=
n
!
n
1
!
n
2
!
…
n
r
+
1
!
=
(
n
n
1
,
n
2
,
…
,
n
r
,
n
r
+
1
)
,
{\displaystyle {n-n_{r+1} \choose n_{1},n_{2},\dots ,n_{r}}{n \choose n_{r+1}}={\frac {(n-n_{r+1})!}{n_{1}!\,n_{2}!\,\dots n_{r}!}}\,{\frac {n!}{n_{r+1}!\,(n-n_{r+1})!}}={\frac {n!}{n_{1}!\,n_{2}!\,\dots n_{r+1}!}}={n \choose n_{1},n_{2},\dots ,n_{r},n_{r+1}},}
otrzymujemy
d
n
d
x
n
(
f
r
+
1
(
x
)
)
(
∏
i
=
1
r
f
i
(
x
)
)
=
∑
n
r
+
1
=
0
n
∑
n
1
+
…
+
n
r
=
n
−
n
r
+
1
(
n
n
1
,
n
2
,
…
,
n
r
+
1
)
(
d
n
r
+
1
d
x
n
r
+
1
f
r
+
1
(
x
)
)
(
∏
i
=
1
r
d
n
i
d
x
n
i
f
i
(
x
)
)
.
{\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(f_{r+1}(x)\right)\left(\prod _{i=1}^{r}f_{i}(x)\right)=\sum _{n_{r+1}=0}^{n}\;\sum _{\begin{smallmatrix}n_{1}+\ldots +n_{r}\\=n-n_{r+1}\end{smallmatrix}}{n \choose n_{1},n_{2},\dots ,n_{r+1}}\left({\frac {d^{n_{r+1}}}{dx^{n_{r+1}}}}f_{r+1}(x)\right)\left(\prod _{i=1}^{r}{\frac {d^{n_{i}}}{dx^{n_{i}}}}f_{i}(x)\right).}
Dla ustalonego
n
r
+
1
{\displaystyle n_{r+1}}
(
d
n
r
+
1
d
x
n
r
+
1
f
r
+
1
(
x
)
)
(
∏
i
=
1
r
d
n
i
d
x
n
i
f
i
(
x
)
)
=
(
∏
i
=
1
r
+
1
d
n
i
d
x
n
i
f
i
(
x
)
)
.
{\displaystyle \left({\frac {d^{n_{r+1}}}{dx^{n_{r+1}}}}f_{r+1}(x)\right)\left(\prod _{i=1}^{r}{\frac {d^{n_{i}}}{dx^{n_{i}}}}f_{i}(x)\right)=\left(\prod _{i=1}^{r+1}{\frac {d^{n_{i}}}{dx^{n_{i}}}}f_{i}(x)\right).}
Dla ustalonego
n
r
+
1
,
{\displaystyle n_{r+1},}
n
1
,
…
,
n
r
,
{\displaystyle n_{1},\dots ,n_{r},}
n
−
n
r
+
1
.
{\displaystyle n-n_{r+1}.}
n
r
+
1
,
{\displaystyle n_{r+1},}
n
,
{\displaystyle n,}
n
1
,
…
,
n
r
,
n
r
+
1
,
{\displaystyle n_{1},\dots ,n_{r},n_{r+1},}
n
{\displaystyle n}
d
n
d
x
n
(
∏
i
=
1
r
+
1
f
i
(
x
)
)
=
∑
n
1
+
…
+
n
r
+
n
r
+
1
=
n
(
n
n
1
,
n
2
,
…
,
n
r
+
1
)
(
∏
i
=
1
r
+
1
d
n
i
d
x
n
i
f
i
(
x
)
)
,
{\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(\prod _{i=1}^{r+1}f_{i}(x)\right)=\sum _{\begin{smallmatrix}n_{1}+\ldots +n_{r}\\+n_{r+1}=n\end{smallmatrix}}{n \choose n_{1},n_{2},\dots ,n_{r+1}}\left(\prod _{i=1}^{r+1}{\frac {d^{n_{i}}}{dx^{n_{i}}}}f_{i}(x)\right),}
co kończy dowód indukcyjny.
Rafał Czyż, Leszek Gasiński, Marta Kosek, Jerzy Szczepański, Halszka Tutaj-Gasińska, Analiza matematyczna 1, wykład 10: Wzór Taylora. Ekstrema, wazniak.mimuw.edu.pl, 3 października 2021 [dostęp 2023-08-23].