Trzy zasady analizy rzeczywistej Littlewooda

Trzy zasady analizy rzeczywistej Littlewooda – heurystyki autorstwa Johna Edensora Littlewooda pomocne w nauczaniu podstaw teorii miary w analizie matematycznej.

Zasady

Littlewood wysłowił zasady w pracy Lectures on the Theory of Functions („Wykłady z teorii funkcji”) z 1944 roku^[1] w postaci:

Istnieją trzy zasady, które można z grubsza wyrazić następującymi słowy:

każdy zbiór (mierzalny) jest nieomal sumą skończoną przedziałów;

każda funkcja (klasy L^p) jest nieomal ciągła;

każdy zbieżny ciąg funkcji jest nieomal zbieżny jednostajnie^[a]^[2].

Pierwsza zasada opiera się na fakcie, iż miara wewnętrzna i miara zewnętrzna zbiorów mierzalnych są równe, druga – na twierdzeniu Łuzina, trzecia zaś – na twierdzeniu Jegorowa.

Przykłady

Zasady Littlewooda są cytowane w kilku podręcznikach analizy rzeczywistej, przykładowo u Roydena^[3], Bressouda^[4], czy Steina i Shakarchiego^[5].

Royden^[6] jako przykład zastosowania trzeciej zasady podaje twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności ograniczonej. Twierdzenie mówi, że jeżeli jednostajnie ograniczony ciąg funkcji zbiega punktowo, to ich całki na zbiorze skończonej miary zbiegają do całki funkcji granicznej – gdyby zbieżność była jednostajna, wynik byłby trywialny. Tymczasem trzecia zasada Littlewooda mówi, że jeżeli zbieżność jest prawie jednostajna, to jest jednostajna poza zbiorem dowolnie małej miary. Ponieważ ciąg jest ograniczony, wkład całek na tym małym zbiorze można uczynić dowolnie małym, przez co całki na pozostałej części są zbieżne, gdyż funkcje są tam jednostajnie zbieżne.

Uwagi

↑ Wyrażenie „nieomal zbieżny jednostajnie” nie oznacza tu pojęcia zbieżności niemal jednostajnej, tzn. zbieżności jednostajnej na zbiorach zwartych, lecz odnosi się do zbieżności prawie jednostajnej.

Przypisy

↑ J. E. Littlewood: Lectures on the Theory of Functions. Oxford University Press, 1944, s. 26. OCLC 297140.
↑ There are three principles, roughly expressible in the following terms: Every (measurable) set is nearly a finite sum of intervals; every function (of class L^p) is nearly continuous; every convergent sequence of functions is nearly uniformly convergent.
↑ H. L. Royden: Real Analysis. Wyd. trzecie. Nowy Jork: Macmillan, 1988, s. 72. ISBN 978-0-02-404151-7.
↑ David Bressoud: A Radical Approach to Lebesgue's Theory of Integration. Cambridge: Cambridge University Press, 2008, s. 191. ISBN 978-0-521-88474-7.
↑ EliasE. Stein EliasE., RamiR. Shakarchi RamiR., Real Analysis: Measure Theory, Integration, and Hilbert Spaces [PDF], Princeton: Princeton University Press, 2005, s. 33, ISBN 978-0-691-11386-9 [dostęp 2008-07-03] .
↑ Royden (1988), s. 84

[2] Wyrażenie „nieomal zbieżny jednostajnie” nie oznacza tu pojęcia zbieżności niemal jednostajnej, tzn. zbieżności jednostajnej na zbiorach zwartych, lecz odnosi się do zbieżności prawie jednostajnej.

[1] J. E. Littlewood: Lectures on the Theory of Functions. Oxford University Press, 1944, s. 26. OCLC 297140.

[3] There are three principles, roughly expressible in the following terms: Every (measurable) set is nearly a finite sum of intervals; every function (of class L^p) is nearly continuous; every convergent sequence of functions is nearly uniformly convergent.

[Royden-4] H. L. Royden: Real Analysis. Wyd. trzecie. Nowy Jork: Macmillan, 1988, s. 72. ISBN 978-0-02-404151-7.

[5] David Bressoud: A Radical Approach to Lebesgue's Theory of Integration. Cambridge: Cambridge University Press, 2008, s. 191. ISBN 978-0-521-88474-7.

[6] EliasE. Stein EliasE., RamiR. Shakarchi RamiR., Real Analysis: Measure Theory, Integration, and Hilbert Spaces [PDF], Princeton: Princeton University Press, 2005, s. 33, ISBN 978-0-691-11386-9 [dostęp 2008-07-03] .

[7] Royden (1988), s. 84

[1]

[a]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]