Test t Studenta

Test t Studenta – test statystyczny używany do porównywania dwóch średnich lub porównywania średniej z próby z pewną założoną wartością i sprawdzania, czy różnice pomiędzy nimi mogą być wynikiem losowości. Test t Studenta korzysta ze statystyki testowej o rozkładzie t.

Zasada działania

Jeśli próba losowa pochodzi z populacji o rozkładzie normalnym, to średnia z próby również ma rozkład normalny z taką samą jak w populacji wartością oczekiwaną. Różnica średniej z próby i średniej z populacji dzielona przez błąd standardowy średniej (iloraz odchylenia standardowego z populacji i pierwiastka z liczebności próby) ma standaryzowany rozkład normalny. Odchylenie standardowe w populacji nie jest jednak zwykle znane. Jeśli zastąpimy je odchyleniem z próby, uzyskamy rozkład t, który zbiega do rozkładu normalnego wraz ze wzrostem wielkości próby.

Test jednej średniej

Hipoteza zerowa. Oznaczmy średnią z próby symbolem ${\bar {X}},$ a wariancję z próby – symbolem $S^{2}.$ W ramach testu jednej średniej weryfikuje się hipotezę zerową, że średnia rozkładu, z którego pobierana jest próbka o liczebności $n,$ jest równa pewnej liczbie $\mu _{0}.$ Jeżeli ta hipoteza zerowa jest prawdziwa, statystyka T, dana wzorem

$T={\frac {{\overline {X}}-\mu _{0}}{S}}{\sqrt {n}}$

ma rozkład t z $n-1$ stopniami swobody.

Formy hipotezy alternatywnej. Hipoteza alternatywna może przyjąć formę dwustronną $\mu \neq \mu _{0}$ (średnia w populacji nie jest równa $\mu _{0}$) lub formę jednostronną: lewostronną ($\mu <\mu _{0}$) lub prawostronną ($\mu >\mu _{0}$). Podobnie jak w innych podobnych testach, w zależności od formy hipotezy alternatywnej oraz przyjętego poziomu istotności $\alpha$ wyznacza się obszar krytyczny lub wartość p.

Kryterium decyzyjne. Analogicznie do wielu innych testów statystycznych, jeżeli uzyskana w próbie wartość statystyki testowej T znajdzie się w obszarze krytycznym lub (co jest równoważne) wartość p nie przekroczy $\alpha$, hipoteza zerowa jest odrzucana.

Założenia. Zakłada się, szczególnie w przypadku małych prób (np. $n\leq 30$), że rozkład w populacji, z której pobiera się próbę losową, ma w przybliżeniu rozkład normalny.

Test dwóch średnich

Hipoteza zerowa. W przypadku testu dwóch średnich porównywane są średnie z dwóch prób o liczebnościach $n_{1}$i $n_{2}$ pochodzących z dwóch populacji. Hipoteza zerowa zwykle zakłada równość dwóch średnich w populacjach ($\mu _{1}=\mu _{2}$), co jest równoznaczne stwierdzeniu, że różnica pomiędzy tymi średnimi wynosi zero ($\mu _{1}-\mu _{2}=0$). Konstrukcja testu pozwala również na niezerową wartość różnicy w hipotezie zerowej ($\mu _{1}-\mu _{2}=D_{0}$), w praktyce najczęściej jednak $D_{0}=0.$

Hipoteza alternatywna. Hipoteza alternatywna może być, podobnie jak w teście jednej średniej, dwustronna $\mu _{1}-\mu _{2}\neq D_{0}$ lewostronna ($\mu _{1}-\mu _{2}<D_{0}$) lub prawostronna ($\mu _{1}-\mu _{2}>D_{0}$).

Statystyka testowa dana jest wzorem:

$T={\frac {{\overline {X}}_{1}-{\overline {X}}_{2}-D_{0}}{\sqrt {{\frac {(n_{1}-1)S_{1}^{2}+(n_{2}-1)S_{2}^{2}}{n_{1}+n_{2}-2}}\left({\frac {1}{n_{1}}}+{\frac {1}{n_{2}}}\right)}}}$,

gdzie ${\overline {X}}_{1}$i $S_{1}^{2}$to średnia i wariancja w pierwszej próbie, a ${\overline {X}}_{2}$ i $S_{2}^{2}$ to analogiczne statystyki z drugiej próby, ma rozkład t o $n_{1}+n_{2}-2$ stopniach swobody.

Założenia. Przeprowadzając test, zakłada się, że rozkłady w populacjach są w przybliżeniu normalne. Jest to ważne w przypadku małych prób, ponieważ dla większych prób test jest odporny na umiarkowane odstępstwa od tego założenia. Test wymaga ponadto założenia o równości wariancji w obu populacjach. Podobny test umożliwiający pominięcie założenia o równości wariancji nazywany jest testem t Welcha.

Test różnicy średnich dla obserwacji powiązanych w pary. Jeżeli obserwacje z dwóch populacji można powiązać w pary (na przykład testujemy zużycie paliwa wylosowanych samochodów w jeździe miejskiej i poza miastem albo umiejętności uczestników szkoleń przed i po szkoleniu), należy obliczyć różnice dla każdej pary i na tak przygotowanych danych (na obliczonych różnicach) przeprowadzić test jednej średniej.