Sygnał okresowy

Sygnał okresowy, sygnał okresowo zmienny – pojęcie stosowane w elektronice, telekomunikacji, elektrotechnice, akustyce, automatyce, fizyce oraz innych dziedzinach nauki i techniki. Oznacza sygnał zależny od czasu, którego wartości powtarzają się w stałych odstępach, trwających przez czas zwany okresem. Sygnał taki można opisać okresową funkcją matematyczną.

Definicja

Sygnałem okresowo zmiennym nazywa się każdą wielkość fizyczną $x(t)$ zależną od czasu, jeżeli spełnia ona warunek

$x(t)=x(t+kT),$

gdzie:

$k=1,2,\dots$

$T$ – ustalona wartość nazywana okresem sygnału.

Oznacza to, że wartości sygnału powtarzają się w odstępach czasu będących wielokrotnościami $T.$ Sygnał taki jest funkcją okresową czasu.

Okres i częstotliwość

Najmniejszą wartość $T$ o tej własności nazywamy okresem podstawowym lub okresem sygnału. Z okresem związana jest częstotliwość $f$ i pulsacja $\omega$ (częstość kołowa):

$f={\frac {1}{T}}$

oraz

$\omega =2\pi \cdot f.$

Składowe harmoniczne

Sygnał okresowo zmienny można przedstawić w postaci szeregu Fouriera, który może być zapisany na przykład w następującej postaci:

$x(t)=X_{0}+\sum \limits _{n=1}^{\infty }X_{n}\cdot \sin(n\,{\omega }t+\varphi _{n}),$

gdzie:

$X_{0}$ – składowa stała,

$X_{n}$ – amplituda n-tej harmonicznej,

$\varphi _{n}$ – przesunięcie fazowe n-tej harmonicznej.

Pierwsza harmoniczna nosi też nazwę składowej podstawowej. Sygnał, który zawiera tylko jedną harmoniczną, jest sygnałem sinusoidalnym o amplitudzie $X_{1}$

Wartość szczytowa

Wartość szczytowa (ang. peak value), zwana też wartością maksymalną sygnału, jest określona jako:

$X_{max}=\max |x(t)|.$

Wartość maksymalna sygnału sinusoidalnego nie posiadającego składowej stałej jest równa amplitudzie tego sygnału. Stosowane też bywa podobne pojęcie wartości międzyszczytowej (ang. peak-to-peak value):

$X_{pp}=\max |x(t)>0|+\max |x(t)<0|.$

Dla sygnału sinusoidalnego wartość międzyszczytowa jest równa podwojonej amplitudzie.

Wartość średnia

Wartość średnia sygnału jest określona wzorem:

$X_{m}={\frac {1}{T}}\int \limits _{0}^{T}\,x(t)dt.$

Tak określona wartość średnia jest tożsama ze składową stałą $X_{0}$ szeregu Fouriera tego sygnału (patrz wyżej). Sygnał okresowy symetryczny względem osi $x=0$ ma wartość średnią równą zeru, toteż używa się także średniej z wartości bezwzględnej (w matematyce i teorii sygnałów: pierwszy moment absolutny, w elektrotechnice: wartość średnia sygnału wyprostowanego), która dla sygnałów nierównych tożsamościowo zeru ma wartość dodatnią:

$X_{e}={\frac {1}{T}}\int \limits _{0}^{T}\,|x(t)|dt.$

Wartość skuteczna

Wartość skuteczna (ang. RMS value) określa parametry energetyczne sygnału. W elektrotechnice najczęściej podaje się tę właśnie wartość, jeżeli mowa jest o prądzie lub napięciu zmiennym bez dodania określeń: średnie, chwilowe, maksymalne itp. Jest ona określona wzorem:

$X_{sk}={\sqrt {{\frac {1}{T}}\int \limits _{0}^{T}\,x^{2}(t)dt}}.$

Wartość skuteczną można też wyrazić poprzez amplitudy składowych harmonicznych (współczynniki rozwinięcia sygnału w szereg Fouriera – patrz wyżej):

$X_{sk}={\sqrt {X_{0}^{2}+{\frac {1}{2}}\sum \limits _{n=1}^{\infty }X_{n}^{2}}}.$

Powyższy wzór jest treścią tożsamości Parsevala w teorii szeregów Fouriera.

Współczynniki bezwymiarowe

Współczynnik kształtu

Współczynnik kształtu (ang. waveform factor) jest stosunkiem wartości skutecznej do średniej z wartości bezwzględnej:

$k_{k}={\frac {X_{sk}}{X_{e}}}.$

Współczynnik szczytu

Współczynnik szczytu (ang. crest factor) podaje stosunek wartości maksymalnej (szczytowej) do wartości skutecznej sygnału:

$k_{sz}={\frac {X_{max}}{X_{sk}}}$

Współczynnik zawartości harmonicznych

Współczynnik zawartości harmonicznych mierzy w pewien sposób odchyłkę sygnału od przebiegu sinusoidalnego. Stosowane są dwie różne definicje tego współczynnika:

$h_{1}={\frac {\sqrt {\sum \limits _{n=2}^{\infty }X_{n}^{2}}}{X_{1}}}$

lub

$h_{2}={\frac {\sqrt {\sum \limits _{n=2}^{\infty }X_{n}^{2}}}{\sqrt {\sum \limits _{n=1}^{\infty }X_{n}^{2}}}}$

(ta ostatnia wielkość bywa też nazywana współczynnikiem zniekształceń).

Wartości parametrów dla wybranych sygnałów okresowych

Poniższa tabela podaje wartości wymienionych wyżej parametrów dla wybranych przebiegów okresowych. Przyjęto, że przebiegi pokazane w tabeli mają jednostkową wartość szczytową (amplitudę).

Rodzaj sygnału	Postać sygnału	Wartość średnia bezwzględna	Wartość skuteczna	Współczynnik kształtu	Współczynnik szczytu	Współczynnik zawartości harmonicznych
						$h_{1}$	$h_{2}$
Sygnał stały (DC)	––––––––––––	$1$	$1$	$1$	$1$	nieokreślony	nieokreślony
Sinusoidalny	Sinusoida	${\frac {2}{\pi }}\approx 0{,}637$	${\frac {1}{\sqrt {2}}}\approx 0{,}707$	${\frac {\pi }{2{\sqrt {2}}}}\approx 1{,}11$	${\sqrt {2}}\approx 1{,}414$	$0$	$0$
Sinusoidalny wyprostowany dwupołówkowo	Sinusoida wyprostowana dwupołówkowo	${\frac {2}{\pi }}\approx 0{,}637$	${\frac {1}{\sqrt {2}}}\approx 0{,}707$	${\frac {\pi }{2{\sqrt {2}}}}\approx 1{,}11$	${\sqrt {2}}\approx 1{,}414$	$\approx 0{,}225$	$\approx 0{,}219$
Sinusoidalny wyprostowany jednopołówkowo	Sinusoida wyprostowana jednopołówkowo	${\frac {1}{\pi }}\approx 0{,}318$	${\frac {1}{2}}=0{,}5$	${\frac {\pi }{2}}\approx 1{,}571$	$2$	$\approx 0{,}441$	$\approx 0{,}404$
Trójkątny symetryczny	Przebieg trójkątny	${\frac {1}{2}}=0{,}5$	${\frac {1}{\sqrt {3}}}\approx 0{,}577$	${\frac {2}{\sqrt {3}}}\approx 1{,}155$	${\sqrt {3}}\approx 1{,}732$	${\sqrt {{\frac {\pi ^{4}}{96}}-1}}\approx 0{,}121$	${\sqrt {1-{\frac {96}{\pi ^{4}}}}}\approx 0{,}120$
Prostokątny symetryczny (współczynnik wypełnienia 50%)	Sygnał prostokątny	$1$	$1$	$1$	$1$	${\sqrt {{\frac {\pi ^{2}}{8}}-1}}\approx 0{,}483$	${\sqrt {1-{\frac {8}{\pi ^{2}}}}}\approx 0{,}435$
Piłokształtny	Sygnał piłokształtny	${\frac {1}{2}}=0{,}5$	${\frac {1}{\sqrt {3}}}\approx 0{,}577$	${\frac {2}{\sqrt {3}}}\approx 1{,}155$	${\sqrt {3}}\approx 1{,}732$	${\sqrt {{\frac {\pi ^{2}}{6}}-1}}\approx 0{,}803$	${\sqrt {1-{\frac {6}{\pi ^{2}}}}}\approx 0{,}626$

Bibliografia

• Stanisław Bolkowski: Teoria obwodów elektrycznych. Warszawa: WNT, 2008. ISBN 83-204-3344-9. Brak numerów stron w książce
• Jerzy Szabatin: Podstawy teorii sygnałów. Warszawa: Wydawnictwa Komunikacji i Łączności, 2008. ISBN 978-83-206-1331-5. Brak numerów stron w książce